pembahasan selanjutnya adalah
 |
| Penerapan fungsi kuadrat dalam kehidupan nyata |
Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) SMA-IPA bidang studi Matematika dengan materi pembahasan Fungsi Kuadrat yang meliputi:
- persamaan grafik fungsi kuadrat,
- grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x,
- grafik fungsi kuadrat menyinggung garis, serta
- grafik fungsi kuadrat definit positif.
Soal Fungsi Kuadrat UN 2008
A. y = x2 − 2x + 1
B. y = x2 − 2x + 3
C. y = x2 + 2x − 1
D. y = x2 + 2x + 1
E. y = x2 − 2x − 3
Pembahasan
Persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik balik minimum atau puncak (p, q) dirumuskan sebagai:
y = a(x − p)2 + q
Puncak grafik fungsi kuadrat adalah (1, 2) sehingga diperoleh:
y = a(x − 1)2 + 2
Grafik fungsi kuadrat tersebut melalui titik (2, 3). Titik ini bisa kita substitusikan untuk mendapatkan nilai a.
3 = a(2 − 1)2 + 2
3 = a + 2
a = 1
Dengan demikian, persamaan fungsinya adalah:
y = 1(x − 1)2 + 2
= x2 − 2x + 1 + 2
= x2 − 2x + 3
Jadi, persamaan grafik fungsi kuadrat tersebut adalah y = x2 − 2x + 3 (B).
Soal Fungsi Kuadrat UN 2011
A. p < −2 atau p > −2/5
B. p < 2/5 atau p > 2
C. p < −2 atau p >1 0
D. 2/5 < p < 2
E. 2 < p < 10
Pembahasan
Koefisien fungsi y = px2 + (p + 2)x − p + 4 adalah:
a = p
b = p + 2
c = −p + 4
Agar grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di dua titik, diskriminan fungsi kuadrat tersebut harus bernilai positif.
D > 0
b2 − 4ac > 0
(p + 2)2 − 4p(−p + 4) > 0
p2 + 4p + 4 + 4p2 − 16p > 0
5p2 − 12p + 4 > 0
(5p − 2)(p − 2) > 0
Diperoleh titik ekstrem:
p = 2/5 atau p = 2
Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka interval terletak di sebelah kiri 2/5 atau di sebelah kana 2.
p < 2/5 atau p > 2
Jadi, batas-batas nilai p yang memenuhi adalah opsi (B).
Soal Fungsi Kuadrat UN 2009
A. –6
B. –4
C. –2
D. 2
E. 4
Pembahasan
Misal:
Parabola : y1 = x2 + px + 5
Garis : y2 = 1 − 2x
Jika parabola menyinggung garis maka di titik singgungnya parabola dan garis mempunyai nilai yang sama.
y1 = y1
x2 + px + 5 = 1 − 2x
x2 + px + 2x + 4 = 0
x2 + (p + 2)x + 4 = 0
Syarat kedua agar keduanya saling menyinggung adalah diskriminan persamaan di atas harus sama dengan nol.
D = 0
b2 − 4ac = 0
(p + 2)2 − 4∙1∙4 = 0
p2 + 4p + 4 − 16 = 0
p2 + 4p − 12 = 0
(p + 6)(p − 2) = 0
p = −6 atau p = 2
Karena soal memberi syarat p > 0 maka nilai p yang memenuhi adalah 2.
Jadi, nilai p yang memenuhi agar parabola menyinggung garis tersebut adalah 2 (D).
Soal Fungsi Kuadrat UN 2010
A. −4
B. −3
C. 0
D. 3
E. 4
Pembahasan
Karena bersinggungan, maka parabola dan garis mempunyai nilai yang sama di titik singgung.
y1 = y1
x2 + bx + 4 = 3x + 4
x2 + bx − 3x = 0
x2 + (b − 3)x = 0
Selain itu, dua fungsi yang bersinggungan akan mempunyai diskriminan sama dengan nol.
D = 0
b2 − 4ac = 0
(b − 3)2 − 4∙1∙0 = 0
(b − 3)2 = 0
b − 3 = 0
b = 3
Jadi, nilai b yang memenuhi agar parabola dan garis tersebut bersinggungan adalah 3 (D).
Soal Fungsi Kuadrat UN 2013
A. a < 4/3
B. a < 1
C. a > 1
D. a > 4/3
E. 1 < a < 4/3
Pembahasan
Koefisien fungsi f(x) = (a − 1)x2 + 2ax + a + 4 adalah:
a = a − 1
b = 2a
c = a + 4
Definit positif berarti nilai f(x) selalu positif untuk semua harga x. Hal ini bisa terjadi jika grafik fungsi f(x) tidak memotong sumbu x dan terletak di atas sumbu x sehingga tidak mempunyai akar real (D < 0).
D < 0
b2 − 4ac < 0
(2a)2 − 4(a − 1)(a + 4) < 0
4a2 − 4(a2 + 3a − 4) < 0
4a2 − 4a2 − 12a + 16 < 0
−12a + 16 < 0
−12a < −16
Masing-masing ruas dibagi −4 sehingga tanda pertidaksamaannya berubah.
3a > 4
a > 4/3
Jadi, nilai a agar fungsi kuadrat tersebut definit positif adalah a > 4/3 (D).
Pembahasan soal lain tentang Fungsi Kuadrat bisa disimak di:
Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 6
Pembahasan Matematika IPA UN 2016 No. 6
Pembahasan Matematika IPA UN 2017 No. 5
Pembahasan Matematika IPA UN 2018 No. 4
Pembahasan Matematika IPA UN 2019 No. 5
Pembahasan Matematika IPA UN 2019 (2) No. 1
Simak juga, Pembahasan Matematika IPA UN: Persamaan Kuadrat.
Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini.
Terimakasih
Semoga Bermanfaat