Pembahasan Matematika IPA UN: Persamaan Trigonometri

Posted on

pembahasan selanjutnya adalah

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) bidang studi Matematika SMA-IPA dengan materi pembahasan Persamaan Trigonometri yang meliputi nilai x dan himpunan penyelesaian dalam interval 0° ≤ x ≤ 180° dan 0° ≤ x ≤ 360°.

Untuk menyelesaikan soal-soal persamaan trigonometri, modal yang harus diingat kembali adalah hafalan sudut-sudut istimewa dan pemahaman kuadran.

Sudut-sudut Istimewa

30°45°60°90°
sinus½½√2½√31
kosinus1½√3½√2½

Sudut di berbagai Kuadran

Kuadran  I IIIIIIV
sudut  α 180°−α180°+α360°−α
sinus  + +
kosinus  + +

Soal tentang Persamaan Trigonometri UN 2014

Nilai x yang memenuhi persamaan 2 cos⁡(2x − 60) = √3 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah ….

A.   20°
B.   30°
C.   45°
D.   60°
E.   90°



Pembahasan

Langkah pertama, kita pindah konstanta 2 ke ruas kanan.

2 cos⁡(2x − 60) = √3
   cos⁡(2x − 60) = ½√3

Pada interval 0° ≤ x ≤ 180° atau kuadran I dan II, kita cukup memanfaatkan sudut-susut istimewa.

cos⁡(2x − 60°) = cos⁡ 30°
        2x − 60° = 30°
                  2x = 90°
                    x = 45°

Jadi, nilai x dari persamaan trigonometri tersebut adalah 45° (C).

Soal tentang Persamaan Trigonometri UN 2011

Himpunan penyelesaian persamaan
cos⁡ 2x + cos⁡ x = 0, 0° ≤ x ≤ 180° adalah ….

A.   {45°, 120°}
B.   {45°, 135°}
C.   {60°, 135°}
D.   {60°, 120°}
E.   {60°, 180°}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal di atas kita harus mengingat kembali rumus cos ⁡2x.

I.   cos⁡ 2x = 2 cos2x − 1
II.  cos⁡ 2x = 1 − 2 sin2x

Karena suku kedua pada soal di atas berbentuk kosinus maka cos⁡ 2x harus diubah seperti rumus I.

             cos ⁡2x + cos⁡ x = 0
      2 cos2⁡x − 1 + cos ⁡x = 0
      2 cos2x + cos ⁡x − 1 = 0
(2 cos⁡ x − 1)(cos⁡ x + 1) = 0
 cos ⁡x = ½   atau  cos ⁡x = −1
       x = 60°               x = 180°

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan trigonometri tersebut adalah {60°, 180°} (E).

Soal tentang Persamaan Trigonometri UN 2015

Himpunan penyelesaian dari persamaan cos ⁡2x − 3 cos⁡ x + 2 = 0 pada interval 0° ≤ x ≤ 360° adalah ….

A.   {0°, 60°, 120°}
B.   {60°, 120°, 180°}
C.   {60°, 180°, 360°}
D.   {0°, 60°, 120°, 180°}
E.   {0°, 60°, 300°, 360°}



Pembahasan

Soal ini mirip dengan soal sebelumnya. Yang perlu diperhatikan adalah interval 0° ≤ x ≤ 360°. Interval ini meliputi semua kuadran.

       cos ⁡2x − 3 cos⁡ x + 2 = 0
2 cos2⁡x − 1 − 3 cos ⁡x + 2 = 0
      2 cos2x − 3 cos⁡ x + 1 = 0
   (2 cos⁡ x − 1)(cos ⁡x − 1) = 0
      cos⁡ x = ½ atau cos ⁡x = 1

Pada interval 0° ≤ x ≤ 360°, kosinus bernilai positif terjadi pada kuadran I dan IV.

            cos ⁡x = ½
            cos⁡ x = cos⁡ 60° 
K. I   :        x = 60°
K. IV :       x = 360° − 60°
                     = 300°

           cos⁡ x = 1
           cos⁡ x = cos⁡ 0°
K.I   :        x = 0°
K.IV :       x = 360° − 0°
                    = 360°

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan trigonometri di atas adalah {0°, 60°, 300°, 360°} (E).

Soal tentang Persamaan Trigonometri UN 2013

Nilai x yang memenuhi persamaan cos⁡ 2x − sin ⁡x = 0 untuk 0° x

A.   {30°, 150°}
B.   {30°, 270°}
C.   {30°, 150°, 180°}
D.   {60°, 120°, 300°}
E.   {30°, 150°, 270°}

Pembahasan

Soal ini agak sedikit berbeda dengan soal sebelumnya. Suku keduanya berbentuk sinus. Sehingga cos⁡ 2x harus diubah seperti rumus II.

            cos⁡ 2x − sin ⁡x = 0
      1 − 2 sin2x − sin ⁡x = 0
       −2 sin2x sin⁡ x + 1 = 0 
      2 sin2x + sin ⁡x − 1 = 0
(2 sin⁡ x − 1)(sin⁡ x + 1) = 0
   sin ⁡x = ½ atau sin ⁡x = −1

Nilai sinus positif terjadi di kuadran I dan II.

          sin⁡ x = ½
          sin⁡ x = sin 30°
K. I :       x = 30°
K. II :      x = 180° − 30°
                  = 150°

Sedangkan nilai sinus negatif di kuadran III dan IV.

            sin ⁡x = −1
            sin⁡ x = −sin 90°
K.III :        x = 180° + 90°
                     = 270°
K.IV :        x = 360° − 90°
                     = 270°

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan trigonometri di atas adalah {30°, 150°, 270°} (E).

Soal tentang Persamaan Trigonometri UN 2012

Himpunan penyelesaian dari persamaan cos⁡ 4x + 3 sin ⁡2x = −1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah ….

A.   {120°, 105°}
B.   {105°, 165°}
C.   {30°, 105°}
D.   {30°, 165°}
E.   {15°, 105°}



Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal di atas, perhatikan analogi rumus berikut ini!

cos⁡ 2x = 1 − 2 sin2⁡⁡ 1x
cos ⁡4x = 1 − 2 sin22x

Berdasarkan analogi rumus tersebut diperoleh:

           cos⁡ 4x + 3 sin ⁡2x = −1
  1 − 2 sin2 ⁡2x + 3 sin ⁡2x = −1
−2 sin2⁡ 2x + 3 sin ⁡2x + 2 = 0
  2 sin2⁡ 2x − 3 sin⁡ 2x − 2 = 0
(2 sin⁡ 2x + 1)(sin ⁡2x − 2) = 0
sin⁡ 2x = −½ atau sin⁡ x = 2 (TM)

TM artinya tidak memenuhi karena nilai maksimum dari sinus adalah 1.

Meskipun interval pada soal di atas adalah 0° ≤ x ≤180°, namun kita harus jeli. Sudut pada persamaan trigonometri di atas adalah 2x. Sehingga intervalnya sama dengan 0° ≤ 2x ≤360°.

Nilai sinus negatif terjadi di kuadran III dan IV.

          sin⁡ 2x = −½
          sin⁡ 2x = −sin 30°
K.III :      2x = 180° + 30°
                     = 210°
                  x = 105°
K.IV :       2x = 360° − 30°
                      = 330°
                   x = 165°

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan trigonometri tersebut adalah {105, 165°} (B).

Pembahasan soal tentang Persamaan Trigonometri yang lain bisa disimak di:
Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 26
Pembahasan Matematika IPA UN 2014 No. 25
Pembahasan Matematika IPA UN 2015 No. 27
Pembahasan Matematika IPA UN 2016 No. 18
Pembahasan Matematika IPA UN 2017 No. 26
Pembahasan Matematika IPA UN 2018 No. 39

Simak juga,
Fungsi Trigonometri dan Grafiknya [Soal UN dan Pembahasan]
Pembahasan Matematika IPA UN: Perbandingan Trigonometri
Pembahasan Matematika IPA UN: Aturan Sinus dan Kosinus

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Terimakasih

Semoga Bermanfaat