Pembahasan Matematika IPA UN 2016 No. 26

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) tahun 2016 bidang studi Matematika SMA-IPA nomor 26 sampai dengan nomor 30 tentang:

• limit fungsi aljabar, 
• limit fungsi trigonometri, 
• turunan fungsi trigonometri, 
• aplikasi turunan, serta 
• titik stasioner dan nilai ekstrem.

Soal No. 26 tentang Limit Fungsi Aljabar

Pembahasan

Bentuk umum dari limit tersebut adalah:

Limit fungsi pada soal di atas harus diupayakan agar mempunyai bentuk yang sama dengan bentuk umum. Caranya dengan mengubah (2x − 5) menjadi bentuk akar.

Dengan demikian bentuk limit fungsi tersebut menjadi:

Berdasarkan bentuk umum ini diperoleh:

a = 4
b = 4
c = −3
d = −20
e = 25

Sehingga hasil dari limit tersebut adalah:

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut adalah 6 (E).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Limit Fungsi.

Soal No. 27 tentang Limit Fungsi Trigonometri

Pembahasan

Prinsip utama menyelesaikan limit fungsi trigonometri adalah menerapkan bahwa:

sin x = tan x = x

Dengan prinsip tersebut, bentuk kosinus harus diubah menjadi bentuk sinus. Perhatikan rumus cos 2x berikut ini.

cos 2x = 1 − 2 sin²x

Analogi bentuk tersebut diperoleh:

cos x = 1 − 2 sin² ½x

Sehingga diperoleh:

1 − cos x = 2 sin² ½x

Dengan demikian, limit fungsi trigonometri di atas dapat diubah menjadi:

Sekarang bentuknya sudah dalam sinus dan tangens. Kita tinggal menggantinya dengan x saja.

sin² ½x = (½x)²
tan² 2x = (2x)²

Sehingga diperoleh:

Jadi, nilai dari limit fungsi trigonometri tersebut adalah 1/8 (A).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Limit Fungsi.

Soal No. 28 tentang Turunan Fungsi Trigonometri

Pembahasan

Soal di atas adalah turunan berantai. Hal ini karena di dalam fungsi f(x) terdapat 3 fungsi, yaitu fungsi (π − 2x), fungsi kosinus, dan fungsi pangkat 5.

Ketiga fungsi tersebut harus diturunkan satu per satu kemudian dirangkai jadi satu.

turunan (π − 2x)   = −2
turunan kosinus     = −sin (π − 2x)
turunan pangkat 5 = 5 cos⁴ (π − 2x)

Sehingga turunan fungsi f(x) adalah:

f’(x) = −2 [−sin (π − 2x)] 5 cos⁴ (π − 2x)
       = 2 sin (π − 2x) . 5 cos⁴ (π − 2x)

Ternyata pada opsi jawaban tidak ada fungsi kosinus pangkat 4. Rupanya kita diarahkan untuk memecah fungsi kosinus pangkat 4 menjadi pangkat 3 dan pangkat 1. Kemudian fungsi kosinus yang pangkat satu dipadukan dengan fungsi sinus sesuai dengan rumus:

2 sin A cos A = sin 2A

Dengan demikian, turunan fungsi f(x) tersebut dapat dilanjutkan menjadi:

f’(x) = 2 sin (π − 2x) . 5 cos³ (π − 2x) cos (π − 2x)
        = 5 cos³ (π − 2x) . 2 sin (π − 2x) cos (π − 2x)
        = 5 cos³ (π − 2x) sin 2(π − 2x)
        = 5 cos³ (π − 2x) sin (2π − 4x)

Jadi, turunan pertama dari fungsi trigonometri tersebut adalah opsi (A).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Turunan Fungsi.

Soal No. 29 tentang Aplikasi Turunan Fungsi

Pembahasan

Persamaan umum garis singgung adalah:

y − y₁ = m(x − x₁)

dengan x₁ dan y₁ berturut-turut adalah absis dan ordinat titik singgung. Pada soal diketahui absis x₁ = 2. Ordinatnya dapat dicari dengan substitusi absis pada kurva y.

 y = 2x² − 3x + 5
y₁ = 2×2² − 3×2 + 5
    = 8 − 6 + 5
    = 7

Sedangkan m adalah gradien garis singgung. Gradien garis singgung merupakan turunan fungsi y. Nilai m dapat ditentukan dengan substitusi absis x = 2.

 y = 2x² − 3x + 5
m = y‘
    = 4x − 3
    = 4×2 − 3
    = 8 − 3
    = 5

Dengan demikian, persamaan garis singgung kurva y adalah:

y − y₁ = m(x − x₁)
 y − 7 = 5(x − 2)
 y − 7 = 5x − 10
       y = 5x − 3

Jadi, persamaan garis singgung kurva tersebut adalah y = 5x − 3 (B).

Soal No. 30 tentang Titik Stasioner dan Nilai Ekstrem

Pembahasan

Kawat berduri 800 meter digunakan sebagai pagar. Sesuai gambar, pagar kawat tersebut terdiri dari 4 lapis. Sehingga keliling pagar tersebut adalah:

K = 800 m : 4
    = 200 m

Sekarang perhatikan gambar berikut ini!

Area tanah yang dipagar hanya 3 sisi, yaitu panjang dan 2 kali lebar tanah. Sehingga keliling pagar tersebut adalah:

   K = p + 2l
200 = p + 2l
    p = 200 − 2l    …. (1)

Sementara itu, luas tanah yang dipagar adalah:

L = p . l

Substitusi persamaan (1) ke luas tanah diperoleh:

L = (200 − 2l) . l
   = 200l − 2l²

Luas tanah akan maksimum saat L‘ = 0.

          L‘ = 0
200 − 4l = 0
          4l = 200
            l = 50

Substitusi l = 50 ke persamaan (1) diperoleh:

p = 200 − 2l
   = 200 − 2×50
   = 100

Dengan demikian, luas maksimum tercapai jika p = 100 m dan l = 50 m.

L = p . l
   = 100 × 50
   = 5.000

Jadi, luas maksimum yang dapat dibatasi oleh pagar yang tersedia adalah 5.000 m² (D).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Titik Stasioner dan Nilai Ekstrem.

Simak Pembahasan Soal Matematika IPA UN 2016 selengkapnya.

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Terimakasih