pembahasan selanjutnya adalah
- aturan sinus dan kosinus,
- dimensi tiga (jarak titik ke garis),
- dimensi tiga (sudut antara garis dan bidang),
- transformasi geometri, serta
- lingkaran.
Soal No. 21 tentang Aturan Sinus dan Kosinus
![Perjalanan kapal dari pelabuhan A, B, dan C Perjalanan kapal dari pelabuhan A, B, dan C, aturan kosinus UN 2016](https://4.bp.blogspot.com/-m2Cpugi_zWk/WHiKbPYUz5I/AAAAAAAAHQ4/ekxloeDelIokC_ht2LSug7ceSoXdaH9nQCLcB/s1600/perjalanan-kapal.jpg)
Jarak tempuh kapal dari pelabuhan C ke pelabuhan A adalah ….
A. 200√2 mil
B. 200√3 mil
C. 200√6 mil
D. 200√7 mil
E. 600 mil
Pembahasan
Diketahui:
tAB = 4 jam
tBC = 20.00 − 12.00
= 8 jam
v = 50 mil/jam
Jarak tempuh dari pelabuhan A ke pelabuhan B adalah:
sAB = v . tAB
= 50 mil/jam × 4 jam
= 200 mil
Sedangkan jarak tempuh dari pelabuhan B ke pelabuhan C adalah:
sBC = v . tBC
= 50 mil/jam × 8 jam
= 400 mil
Perhatikan perjalanan kapal berikut ini!
![Penjabaran perjalanan kapal dari pelabuhan A, B, C Penjabaran perjalanan kapal dari pelabuhan A, B, C, UN 2016](https://1.bp.blogspot.com/-BCI4LljsnCQ/WHiVqObBBCI/AAAAAAAAHRI/bzJlWQkOMpkpN3GfnLv2b_FxYAUTSJ-uQCLcB/s320/perjalanan-kapal2.jpg)
Berdasarkan gambar di atas, jarak tempuh kapal dari pelabuhan C ke pelabuhan A (sAC) dapat ditentukan dengan aturan kosinus segitiga.
sAC2 = sAB2 + sBC2 − 2 . sAB . sBC . cos B
= 2002 + 4002 − 2 × 200 × 400 cos 60°
= 40.000 + 160.000 − 80.000
= 120.000
sAC = 200√3
Jadi, jarak tempuh kapal dari pelabuhan C ke pelabuhan A adalah 200√3 mil (B).
Simak soal sejenis di Pembahasan Matematika IPA UN 2017 No. 25
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Aturan Sinus dan Kosinus.
Soal No. 22 tentang Dimensi Tiga (jarak titik ke garis)
A. 8√6 cm
B. 8√3 cm
C. 8√2 cm
D. 4√6 cm
E. 4√3 cm
Pembahasan
Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH berikut ini!
![](https://3.bp.blogspot.com/-d2PLqMvT0Ew/WHispPkS4bI/AAAAAAAAHRY/W_C6-w2IpxcRZaz0_gnOmoB0r6x4i-_7ACLcB/s1600/jarak-E-ke-BD.jpg)
AC adalah diagonal bidang, sedangkan AO adalah setengah diagonal AC.
AC = a√2
= 8√2
AO = ½ AC
= ½ × 8√2
= 4√2
Jarak titik E ke garis BD adalah garis EO. Pandanglah segitiga AOE.
![Jarak titik E ke garis BD Jarak titik E ke garis BD, UN 2016](https://3.bp.blogspot.com/-zEi0Uh6aIB0/WHivf44m3aI/AAAAAAAAHRk/Rg3gvEiknjoPfgzX9IM4yjJFcxSQ7qouQCLcB/s1600/panjang-EO.jpg)
Jadi, jarak dari titik E ke garis BD adalah 4√6 cm (D).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Jarak Titik, Garis, dan Bidang [Dimensi Tiga].
Soal No. 23 tentang Dimensi Tiga (sudut antara garis dan bidang)
A. ½
B. ⅓√3
C. ½√2
D. ½√3
E. ⅓√6
Pembahasan
Perhatikan terbentuknya sudut antara garis AH dan bidang BDHF berikut ini!
![Terbentuknya sudut antara garis AH dan bidang BDHF Terbentuknya sudut antara garis AH dan bidang BDHF, Dimensi tiga UN 2016](https://3.bp.blogspot.com/-AnUbyNanKCo/WHizP3jny5I/AAAAAAAAHRw/eUBauKLLWIEhDUXKLMmJEFQViYpiNWXkwCLcB/s1600/sudut-AH-dg-BDHF.jpg)
Garis AH dan bidang BDHF bertemu di titik H. Dari titik H ini ditarik garis pertolongan hingga terbentuk sudut α.
Garis AH adalah diagonal bidang.
AH = a√2
= 16√2
Sedangkan garis HB adalah diagonal ruang.
HB = a√3
= 16√3
Cara I: Aturan Kosinus Segitiga
Pandanglah segitiga ABH! Sudut α dapat dicari dengan menggunakan aturan kosinus.
![Menentukan sudut antara garis AH dan bidang BDHF dengan aturan kosinus Menentukan sudut antara garis AH dan bidang BDHF dengan aturan kosinus, UN 2016](https://2.bp.blogspot.com/-deCa-bA80eo/WHmFIcziIwI/AAAAAAAAHSA/wWBQunYtuMcKb6agPeeUh3egLbo7xhP_gCLcB/s1600/aturan-kosinus3.jpg)
Jika masing-masing suku ruas kanan dibagi dengan 162 maka diperoleh:
![Tahap penyelesaian aturan kosinus Tahap penyelesaian aturan kosinus](https://2.bp.blogspot.com/-alLVI6ltSvo/WHmGdxhw8PI/AAAAAAAAHSM/Wqec_7mP0z0cO5TOFmEMzknt7OJzk5cAwCLcB/s1600/aturan-kosinus4.jpg)
Sayang sekali pertanyaannya sin α. Sabar sedikit, ya. Tinggal satu langkah lagi. Kita buat perbandingan trigonometri dengan memanfaatkan sifat segitiga siku-siku.
![Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku](https://1.bp.blogspot.com/-3b_02KMIKsM/WHmJ39vbNtI/AAAAAAAAHSY/o7yVabu7r5gGfeAFVvj65BY1wEZLveoTACLcB/s1600/perbandingan-trigono.jpg)
Nilai y pada segitiga siku-siku di atas adalah:
![Nilai y pada segitiga siku-siku Nilai y pada segitiga siku-siku](https://2.bp.blogspot.com/-y59MGLCn36k/WHmLc46RZVI/AAAAAAAAHSk/kAN7N-bpYL0HGKQbRHPj9iD91SDMQZgIwCLcB/s1600/nilai-y-segitiga.jpg)
Dengan demikian, nilai dari sin α adalah:
Cara II: Segitiga Siku-siku
Jika Anda jeli, segitiga ABH adalah segitiga siku-siku di A.
![Segitiga siku-siku ABH Segitiga siku-siku ABH](https://4.bp.blogspot.com/-r5u5naE6XxM/WHmcVT7DgWI/AAAAAAAAHTA/Wcpy_9S2O2kJi3XQ19NNmP230AiHzlDYwCLcB/s1600/segitiga-siku2.jpg)
Dengan demikian, nilai sin α adalah:
![Menentukan sin a dari segitiga siku-siku Menentukan sin a dari segitiga siku-siku](https://3.bp.blogspot.com/-Iweu2PYXXi0/WHmeEu8r3RI/AAAAAAAAHTI/MxDfUrdoxpc9NNR7HQWFa4wfz_BJuYS7gCLcB/s1600/sin-a-segitiga.jpg)
Jadi, nilai sinus sudut antara garis AH dengan bidang BDHF adalah ⅓√3 (B).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Sudut antara Garis dan Bidang [Dimensi Tiga].
Soal No. 24 tentang Transformasi Geometri
A. y = −3x2 − 2x − 1
B. y = −3x2 − 2x + 1 y = −3x2 + 2x + 1
C. y = −3x2 + 2x − 1
D. y = 3x2 + 2x + 1
E. y = 3x2 − 2x + 1
Pembahasan
Mencerminkan terhadap sumbu x dilanjutkan dengan mencerminkan terhadap sumbu y sama saja dengan mencerminkan terhadap pangkal koordinat atau memutar 180°. Sehingga bayangan dan benda akan saling bertolak belakang. Secara matematis dapat dinotasikan:
(x, y) → (−x, −y)
Sehingga diperoleh:
x‘ = −x atau x = −x‘ … (1)
y‘ = −y atau y = −y‘ … (2)
Persamaan bayangan kurva y diperoleh dengan cara substitusi persamaan (1) dan (2) pada kurva y.
kurva : y = 3x2 + 2x − 1
bayangan: −y’ = 3(−x‘)2 + 2(−x‘) − 1
= 3(x‘)2 − 2x‘ − 1
y‘ = −3(x‘)2 + 2x‘ + 1
Jadi, persamaan bayangan kurva tersebut adalah y = −3x2 + 2x + 1 (C B).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Transformasi Geometri.
Soal No. 25 tentang Lingkaran
A. 2x + y + 10 = 0
B. 2x + y + 6 = 0
C. 2x + y + 4 = 0
D. 2x + y − 6 = 0
E. 2x + y − 8 = 0
Pembahasan
Persamaan garis singgung lingkaran yang sejajar atau tegak lurus suatu garis dirumuskan sebagai:
![Rumus persakaaj garis singgung lingkaran yang melibatkan gradien m Rumus persakaaj garis singgung lingkaran yang melibatkan gradien m](https://2.bp.blogspot.com/-AkqcW3ANPec/WHm18iHs7vI/AAAAAAAAHTY/m_NK3yfk6kE8yl0dQ-EvQQjShpUXz0K7QCLcB/s1600/gasing-lingkaran.jpg)
dengan (h, k) adalah pusat lingkaran, r adalah jari-jari lingkaran, dan m adalah gradien garis singgung.
Kita tentukan dulu pusat dan jari-jari lingkaran dengan cara membandingkan dengan bentuk umumnya.
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
x2 + y2 + 2x − 4y − 15 = 0
Dengan membandingkan bentuk umumnya diperoleh:
A = 2
B = −4
C = −15
Adapun pusat dan jari-jari lingkaran dirumuskan:
pusat: (−½A, −½B)
(−½×2, −½×(−4))
(−1, 2)
jari-jari:
![Jari-jari lingkaran Jari-jari lingkaran](https://1.bp.blogspot.com/-A_iCbsePD_E/WHnA0EvO-YI/AAAAAAAAHTo/B8JEPRTfL9MMjwNXmCD1Aci0b1tx0mOWgCLcB/s1600/jari-lingkaran2.jpg)
Garis singgung lingkaran sejajar dengan garis 2x + y + 3 = 0, berarti gradien garis singgung sama dengan gradien garis tersebut.
Gradien garis ax + by + c = 0 dirumuskan:
m = −a/b
Sehingga gradien garis 2x + y + 3 = 0 adalah:
m = −2/1
= −2
Dengan demikian, persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah:
![Persamaan garis singgung lingkaran Persamaan garis singgung lingkaran UN 2016](https://4.bp.blogspot.com/-2esctTPgb9o/WHnDnNAD0NI/AAAAAAAAHT0/5yIdZNZrc6Iiu5Hph7O_Ewo4xle0jZ6UACLcB/s1600/prs-gasing-lingkaran.jpg)
Sekarang tinggal menguraikan nilai plus dan minus pada persamaan tersebut
y = −2x + 10
2x + y −10 = 0
dan
y = −2x − 10
2x + y +10 = 0
Jadi, salah satu persamaan garis singgung lingkaran adalah 2x + y + 10 = 0 (A).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Lingkaran.
Simak Pembahasan Soal Matematika IPA UN 2016 selengkapnya.
Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini.
Terimakasih
Semoga Bermanfaat