Pembahasan Matematika IPA UN 2016 No. 21

Posted on

pembahasan selanjutnya adalah

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) tahun 2016 bidang studi Matematika SMA-IPA nomor 21 sampai dengan nomor 25 tentang:

  • aturan sinus dan kosinus, 
  • dimensi tiga (jarak titik ke garis), 
  • dimensi tiga (sudut antara garis dan bidang), 
  • transformasi geometri, serta 
  • lingkaran.

Soal No. 21 tentang Aturan Sinus dan Kosinus

Sebuah kapal mulai bergerak dari pelabuhan A pada pukul 07.00 dengan arah 030° dan tiba di pelabuhan B setelah 4 jam bergerak. Pukul 12.00 kapal bergerak kembali dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan memutar haluan 150° dan tiba di pelabuhan C pukul 20.00. Kecepatan rata-rata kapal 50 mil/jam.
Perjalanan kapal dari pelabuhan A, B, dan C, aturan kosinus UN 2016

Jarak tempuh kapal dari pelabuhan C ke pelabuhan A adalah ….

A.   200√2 mil
B.   200√3 mil
C.   200√6 mil
D.   200√7 mil
E.   600 mil



Pembahasan

Diketahui:

tAB = 4 jam
tBC = 20.00 − 12.00
      = 8 jam
  v  = 50 mil/jam

Jarak tempuh dari pelabuhan A ke pelabuhan B adalah:

sAB = v . tAB
       = 50 mil/jam × 4 jam
       = 200 mil

Sedangkan jarak tempuh dari pelabuhan B ke pelabuhan C adalah:

sBC = v . tBC
       = 50 mil/jam × 8 jam
       = 400 mil

Perhatikan perjalanan kapal berikut ini!

Penjabaran perjalanan kapal dari pelabuhan A, B, C, UN 2016

Berdasarkan gambar di atas, jarak tempuh kapal dari pelabuhan C ke pelabuhan A (sAC) dapat ditentukan dengan aturan kosinus segitiga.

sAC2 = sAB2 + sBC2 − 2 . sAB . sBC . cos B
        = 2002 + 4002 − 2 × 200 × 400 cos 60°
        = 40.000 + 160.000 − 80.000
        = 120.000
 sAC = 200√3

Jadi, jarak tempuh kapal dari pelabuhan C ke pelabuhan A adalah 200√3 mil (B).

Simak soal sejenis di Pembahasan Matematika IPA UN 2017 No. 25
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Aturan Sinus dan Kosinus.

Artkel Terkait  Rangkuman Materi, Contoh Soal Bab Jaringan & Pembahasan

Soal No. 22 tentang Dimensi Tiga (jarak titik ke garis)

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak dari titik E ke garis BD adalah …

A.   8√6 cm
B.   8√3 cm
C.   8√2 cm
D.   4√6 cm
E.   4√3 cm

Pembahasan

Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH berikut ini!

AC adalah diagonal bidang, sedangkan AO adalah setengah diagonal AC.

AC = a√2
      = 8√2

AO = ½ AC
       = ½ × 8√2
       = 4√2

Jarak titik E ke garis BD adalah garis EO. Pandanglah segitiga AOE.

Jarak titik E ke garis BD, UN 2016

Jadi, jarak dari titik E ke garis BD adalah 4√6 cm (D).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Jarak Titik, Garis, dan Bidang [Dimensi Tiga].

Soal No. 23 tentang Dimensi Tiga (sudut antara garis dan bidang)

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan AB = 16 cm. Nilai sinus sudut antara garis AH dengan bidang BDHF adalah ….

A.   ½
B.   ⅓√3
C.   ½√2
D.   ½√3
E.   ⅓√6



Pembahasan

Perhatikan terbentuknya sudut antara garis AH dan bidang BDHF berikut ini!

Terbentuknya sudut antara garis AH dan bidang BDHF, Dimensi tiga UN 2016

Garis AH dan bidang BDHF bertemu di titik H. Dari titik H ini ditarik garis pertolongan hingga terbentuk sudut α.

Garis AH adalah diagonal bidang.

AH = a√2
       = 16√2

Sedangkan garis HB adalah diagonal ruang.

HB = a√3
      = 16√3

Cara I: Aturan Kosinus Segitiga

Pandanglah segitiga ABH! Sudut α dapat dicari dengan menggunakan aturan kosinus.

Menentukan sudut antara garis AH dan bidang BDHF dengan aturan kosinus, UN 2016

Jika masing-masing suku ruas kanan dibagi dengan 162 maka diperoleh:

Tahap penyelesaian aturan kosinus

Sayang sekali pertanyaannya sin α. Sabar sedikit, ya. Tinggal satu langkah lagi. Kita buat perbandingan trigonometri dengan memanfaatkan sifat segitiga siku-siku.

Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

Nilai y pada segitiga siku-siku di atas adalah:

Nilai y pada segitiga siku-siku

Dengan demikian, nilai dari sin α adalah:

Nilai sin a yang dicari dari segitiga siku-siku

Cara II: Segitiga Siku-siku

Jika Anda jeli, segitiga ABH adalah segitiga siku-siku di A.

Segitiga siku-siku ABH

Dengan demikian, nilai sin α adalah:

Menentukan sin a dari segitiga siku-siku

Jadi, nilai sinus sudut antara garis AH dengan bidang BDHF adalah ⅓√3 (B).

Artkel Terkait  Jelaskan yang dimaksud dengan teknik sauteing

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Sudut antara Garis dan Bidang [Dimensi Tiga].

Soal No. 24 tentang Transformasi Geometri

Persamaan bayang kurva y = 3x2 + 2x − 1 oleh pencerminan terhadap sumbu x yang dilanjutkan dengan pencerminan terhadap sumbu y adalah ….

A.   y = −3x2 − 2x − 1
B.   y = −3x2 − 2x + 1  y = −3x2 + 2x + 1
C.   y = −3x2 + 2x − 1
D.   y = 3x2 + 2x + 1
E.   y = 3x2 − 2x + 1

Pembahasan

Mencerminkan terhadap sumbu x dilanjutkan dengan mencerminkan terhadap sumbu y sama saja dengan mencerminkan terhadap pangkal koordinat atau memutar 180°. Sehingga bayangan dan benda akan saling bertolak belakang. Secara matematis dapat dinotasikan:

(x, y) → (−x, −y)

Sehingga diperoleh:

x‘ = −x   atau   x = −x‘  … (1)
y‘ = −y   atau   y = −y‘  … (2)

Persamaan bayangan kurva y diperoleh dengan cara substitusi persamaan (1) dan (2) pada kurva y.

kurva      :    y = 3x2 + 2x − 1
bayangan: −y’ = 3(−x‘)2 + 2(−x‘) − 1
                        = 3(x‘)2 − 2x‘ − 1
                     y‘ = −3(x‘)2 + 2x‘ + 1

Jadi, persamaan bayangan kurva tersebut adalah y = −3x2 + 2x + 1 (C B).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Transformasi Geometri.

Soal No. 25 tentang Lingkaran

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 2x − 4y − 15 = 0 yang sejajar dengan garis 2x + y + 3 = 0 adalah ….

A.   2x + y + 10 = 0
B.   2x + y + 6 = 0
C.   2x + y + 4 = 0 
D.   2x + y − 6 = 0
E.   2x + y − 8 = 0



Pembahasan

Persamaan garis singgung lingkaran yang sejajar atau tegak lurus suatu garis dirumuskan sebagai:

Rumus persakaaj garis singgung lingkaran yang melibatkan gradien m

dengan (h, k) adalah pusat lingkaran, r adalah jari-jari lingkaran, dan m adalah gradien garis singgung.

Kita tentukan dulu pusat dan jari-jari lingkaran dengan cara membandingkan dengan bentuk umumnya.

x2 + y2 + Ax + By + C = 0
x2 + y2 + 2x − 4y − 15 = 0

Dengan membandingkan bentuk umumnya diperoleh:

A = 2
B = −4
C = −15

Artkel Terkait  Allah Swt. sendirilah yang mengetahui kapan terjadinya hari kiamat, mengetahui apa yang terkandung di dalam rahim, mengetahui kapan akan turun hujan. Allah Swt. Maha Mengetahui merupakan makna dari

Adapun pusat dan jari-jari lingkaran dirumuskan:

pusat: (−½A, −½B)
           (−½×2, −½×(−4))
           (−1, 2)

jari-jari:

Jari-jari lingkaran

Garis singgung lingkaran sejajar dengan garis 2x + y + 3 = 0, berarti gradien garis singgung sama dengan gradien garis tersebut.

Gradien garis ax + by + c = 0 dirumuskan:

m = −a/b

Sehingga gradien garis 2x + y + 3 = 0 adalah:

m = −2/1
    = −2

Dengan demikian, persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah:

Persamaan garis singgung lingkaran UN 2016

Sekarang tinggal menguraikan nilai plus dan minus pada persamaan tersebut

y = −2x + 10
2x + y −10 = 0

dan

y = −2x − 10
2x + y +10 = 0

Jadi, salah satu persamaan garis singgung lingkaran adalah 2x + y + 10 = 0 (A).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Lingkaran.

Simak Pembahasan Soal Matematika IPA UN 2016 selengkapnya.

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Terimakasih

Semoga Bermanfaat