Titik Stasioner dan Nilai Ekstrem [Aplikasi Turunan]

Soal tentang Titik Stasioner dan Nilai Ekstrem UN 2013

Pembahasan

Nilai p akan mencapai minimum saat turunan fungsi p sama dengan nol. Fungsi p pada soal di atas mengandung dua variabel sehingga harus dijadikan satu variabel terlebih dahulu agar bisa diturunkan.

2m + n = −40
          n = −2m − 40 … (1)

Selanjutnya kita substitusikan persamaan (1) pada fungsi p. 

p = m² + n²
   = m² + (−2m − 40)²
   = m² + 4m² + 160m + 1600
   = 5m² + 160m + 1600

Nilai p mencapai minimum saat p‘ = 0. 

              p‘ = 0
10m + 160 = 0
           10m = −160
                m = −16 

Substitusi m = −16 ke persamaan (1) diperoleh: 

n = −2m − 40
   = −2×(−16) − 40
   = 32 − 40
   = −8

Dengan demikian nilai p adalah: 

p = m² + n²
   = (−16)² + (−8)²
   = 256 + 64
   = 320

Jadi, nilai minimum dari fungsi p adalah 320 (C).

Soal tentang Titik Stasioner dan Nilai Ekstrem UN 2010

Pembahasan

Biaya proyek per hari adalah: 

B = 2x + (1000/x) − 40

Biaya proyek selama x hari adalah: 

B(x) = x[2x + (1000/x) − 40]
        = 2x² − 40x + 1000

Biaya proyek minimum dalam x hari tercapai ketika turunan B(x) sama dengan nol.

     B‘(x) = 0
4x − 40 = 0
         4x = 40
           x = 10

Dengan demikian, biaya proyek minimum terjadi saat x = 10. 

B(x) = 2x² − 40x + 1000 
B(10) = 2×10² − 40×10 + 1000
          = 200 − 400 + 1000
          = 800     (dalam ribuan)

Jadi, biaya proyek minimum dalam x hari adalah Rp800.000,00 (B).

Soal tentang Titik Stasioner dan Nilai Ekstrem UN 2012

Pembahasan

Biaya produksi untuk x unit barang adalah: 

B = x(5x² − 10x + 30)
   = 5x³ − 10x² + 30x

Harga penjualan untuk x unit adalah: 

H = 50x   (dalam ribuan)

Laba perusahaan tersebut adalah harga jual dikurangi biaya produksi. 

L = H − B
   = 50x − (5x³ − 10x² + 30x)
   = −5x³ + 10x² + 20x

Laba maksimum terjadi saat L‘ = 0.

                           L‘ = 0
−15x² + 20x + 20 = 0
         3x² − 4x − 4 = 0
     (3x + 2)(x − 2) = 0
       x = −⅔ atau x = 2

Nilai x = −⅔ tidak memenuhi karena jumlah barang tidak mungkin negatif sehingga laba maksimum tercapai saat x = 2. 

L = −5x³ + 10x² + 20x
   = −5×2³ + 10×2² + 20×2
   = −40 + 40 + 40
   = 40    (dalam ribuan)

Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah Rp40.000,00 (D).

Soal tentang Titik Stasioner dan Nilai Ekstrem UN 2011

Pembahasan

Biaya produksi untuk x unit barang adalah: 

B = 9000 + 1000x + 10x²

Harga penjualan untuk x unit adalah: 

H = 5000x  

Laba perusahaan tersebut adalah harga jual dikurangi biaya produksi. 

L = H − B
   = 5000x − (9000 + 1000x + 10x²)
   = −10x² + 4000x − 9000

Laba maksimum terjadi saat L‘ = 0. 

                 L‘ = 0
−20x + 4000 = 0
               20x = 4000
                   x = 200

Dengan demikian, laba maksimum tercapai saat x = 200. 

L = −10x² + 4000x − 9000
   = −10×200² + 4000×200 − 9000
   = −400.000 + 800.000 − 9000
   = 391.000

Jadi, laba maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah Rp391.000,00 (C).

Soal tentang Titik Stasioner dan Nilai Ekstrem UN 2014

Pembahasan

Kita tentukan terlebih dahulu fungsi f(x). 

f(x) = g(2x − 1)
       = ⅓(2x − 1)³ − 1/9 A²(2x − 1) + 1
       = ⅓(2x − 1)³ − 2/9 A²x + 1/9 A² + 1

f naik pada x ≤ 0 atau x ≥ 1, artinya f’ = 0 saat x = 0 atau x = 1. 

f’ = 0
2(2x − 1)² − 2/9 A² = 0
                      2/9 A² = 2(2x − 1)²
                            A² = 9(2x − 1)² 
         x = 0    →  A² = 9(2.0 − 1)²
                                 = 9
         x = 1    →  A² = 9(2.1 − 1)²
                                 = 9

Nilai A² ini kita gunakan untuk mendapatkan fungsi g. Dengan melakukan substitusi A² = 9, kita peroleh fungsi g berikut ini. 

g(x) = ⅓ x³ − (A²/9)x + 1 
g(x) = ⅓ x³ − x + 1

Nilai g maksimum terjadi saat g’ = 0. 

       g’ = 0 
x² − 1 = 0 
      x² = 1 
        x = ±1

Terdapat dua nilai x, yaitu +1 dan −1.  Berarti yang satu menghasilkan g maksimum, satunya lagi menghasilkan g minimum. Mari kita periksa. 

g(x) = ⅓ x³ − x + 1 

g(−1) = −⅓ + 1 + 1 = 5/3  (maksimum) 
g(1)   = ⅓ − 1 + 1 = 1/3     (minimum)

Jadi, nilai maksimum relatif fungsi g adalah 5/3 (B).

Pembahasan soal Titik Stasioner dan Nilai Ekstrem yang lain bisa disimak di:
Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 30
Pembahasan Matematika IPA UN 2014 No. 29
Pembahasan Matematika IPA UN 2015 No. 31
Pembahasan Matematika IPA UN 2016 No. 29 dan 30
Pembahasan Matematika IPA UN 2017 No. 21 dan 22
Pembahasan Matematika IPA UN 2018 No. 17 – 19
Pembahasan Matematika IPA UN 2019 No. 17 – 19
Pembahasan Matematika IPA UN 2019 No. 40
Pembahasan Matematika IPA UN 2019 (2) No. 17 – 19
Pembahasan Matematika IPA UN 2019 (2) No. 40

Simak juga:
Pembahasan Matematika IPA UN: Turunan Fungsi

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Terimakasih