Rangkuman Materi, Contoh Soal Bilangan Bulat Dan Pecahan SMP

Bilangan Bulat

Terdiri dari bilangan negatif, bilangan nol (0) dan bilangan bulat positif. Jika dituliskan sebagai berikut

Jika dituliskan dalam bentuk garis bilangan, sebagai berikut:

Operasi Bilangan Bulat

Penjumlahan

Sifat Operasi Bilangan Bulat

• Komutatif (pertukaran)

  Jika m dan n ∈ himpunan bilangan bulat, maka berlaku:

  m + n = n + m

  Contoh:

  2 + 3 = 3 + 2 = 5

• Asosiatif (pengelompokan)

  Jika m dan n ∈ himpunan bilangan bulat, maka berlaku

  (m + n) + o = m + ( n + o)

  Contoh:

  (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9

• Unsur identitas, jika m ∈ himpunan bilangan bulat, maka berlaku:

  m + 0 = m

  0 merupakan unsur identitas pada penjumlahan

• Memiliki invers atau lawan, jika m ∈ himpunan bilangan bulat, maka -m disebut invers atau lawan dari m, maka berlaku:

  m + (-m) = (-m) + m = 0

  Contoh:

  4 + (-4) = (-4) + 4 = 0

• Tertutup, jika m dan n ∈ himpunan bilangan bulat, maka berlaku

  m + n ∈ himpunan bilangan bulat

Pengurangan

Pada pengurangan bilangan bulat secara umum dapat dinyatakan sebagai berikut:

m – n = m+ (-n)

contohnya:

14 – 34 = -20

-12 – 32 = -44

Perkalian

Sifat-sifat operasi hitung perkalian sebagai berikut:

1. Sifat tertutup

   Apabila m dan n merupakan anggota himpunan bilangan bulat, maka m x n merupakan anggota himpunan bilangan bulat.

2. Sifat komutatif (pertukaran)

   Apabila m dan n merupakan anggota himpunan bilangan bulat, maka m x n = n x m.

3. Sifat asosiatif (pengelompokkan)

   Apabila m dan n merupakan anggota himpunan bilangan bulat, maka (m x n) x o = m x (n x o).

4. Sifat distributif (penyebaran)

   Berlaku sebagai berikut:

   m x (n + o) =(m x n) + (m x o)

   m x (n – o) = (m x n) – (m x o)

5. Elemen/unsur identitas

   Apabila m anggota himpunan bilangan bulat, maka m x 1 = m, 1 adalah unsur identitas.

Ketentuan pada perkalian bilangan bulat adalah:

• m x n = bilangan bulat positif
• m x (-n) = bilangan bulat negatif
• (-m) x n = bilangan bulat negatif
• (-m) x (-n) = bilangan bulat positif

Contohnya:

4 x (- 6) = – 24

(- 6) x (-7) = 42

Pembagian

Pembagian merupakan kebalikan dari operasi perkalian. Ketentuan pada operasi perkalian berlaku juga untuk operasi pembagian. Dengan catatan jika m merupakan anggota himpunan bilangan bulat, maka m : 0 = tidak terdefinisi dan 0 : m = 0.

Jika m, n, dan o adalah bilangan bulat, dengan n merupakan faktor m, dan n ≠ 0 maka berlaku:

m : n = o → m = n x o

contohnya:

50 : (- 2) = – 25

(- 80) : (- 16) = 5

Konsep Operasi Hitung Campuran pada Bilangan Bulat

Pada operasi hitung campuran bilangan bulat ada sifat-sifat yang harus dipenuhi, yaitu:

1. Tanda operasi hitung dan tanda kurung harus diperhatikan dengan seksama.
2. Pengerjaan bilangan yang ada dalam tanda kurung harus didahulukan/ diprioritaskan.

Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat tidak terdapat tanda kurung, maka cara pengerjaannya sebagai berikut:

• Operasi hitung penjumlahan dan pengurangan sama-sama kuat sehingga pengerjaan yang sebelah kiri harus didahulukan.
• Operasi hitung perkalian dan pembagian sama-sama kuat sehingga pengerjaan yang sebelah kiri harus didahulukan.
• Operasi hitung perkalian dan pembagian sifatnya lebih kuat daripada penjumlahan dan pengurangan sehingga perkalian dan pembagian harus dikerjakan lebih dahulu daripada penjumlahan dan pengurangan.

Contohnya:

1. 9 x 42 : 6 – 23

   Penyelesaian:

   9 x 42 : 6 – 23 = 9 x (42 : 6) – 23

   = 9 x 7 – 23

   = 40

2. 450 : 9 – 10 + 4 x 6

   Penyelesaian:

   450 : 9 – 10 + 4 x 6 = (450 : 9) – 10 + (4 x 6)

   = 50 – 10 +24

   = 64

KPK dan FPB

KPK (kelipatan persekutuan terkecil)

Cara menentukan nilai KPK dari suatu bilangan adalah:

• Uraikan faktor pembentuk bilangan dari bilangan yang kita cari
• Pilih bilangan yang terkecil tapi bukan nol dari anggota himpunan kelipatan persekutuan
• Kemudian kalikan faktor-faktor prima yang berbeda dengan pangkat terbesar

Contohnya:

Tentukan KPK dari 8 dan 6

Penyelesaian cara I:

Bilangan dari kelipatan 8 : 0, 8, 16, 24, 32, 40, …

Bilangan dari kelipatan 6 : 0, 6, 12, 18, 24, 30, …

KPK dari 8 dan 6 adalah 24

Penyelesaian cara II:

Faktorisasi prima dari 8 = 2³

Faktorisasi prima dari 6 = 2¹ x 3

Diperoleh 2³  x 3 = 24

Maka, KPK dari 8 dan 6 adalah 24

FPB (faktor persekutuan terbesar)

Untuk menentukan FPB dari suatu bilangan dapat diperoleh dengan cara:

• Tentukan anggota bilangan himpunan faktor-faktor yang terbesar
• Kalikan faktor-faktor prima yang bernilai sama dengan pangkat terkecil

Contohnya:

Tentukan FPB dari 24 dan 36

Penyelesaian cara I:

Himpunan faktor-faktor dari 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Himpunan faktor-faktor dari 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Maka FPB dari 24 dan 36 adalah 12

Penyelesaian cara II:

Faktorisasi prima dari 24 = 2³ x 3

Faktorisasi prima dari 36 = 2² x 3²

Diperoleh 2² x 3 = 12

Maka, FPB dari 24 dan 36 adalah 12

Pecahan

Bentuk pecahan adalah   dengan n ≠ 0

m = pembilang

n = penyebut

m dan n adalah ∈ himpunan bilangan bulat

Macam-macam pecahan

Persen

Contoh:

Pecahan sederhana

Contoh:

Maka bentuk paling sederhana dari pecahan  adalah

Pecahan senilai

Contoh:

Maka pecahan  senilai dengan pecahan

Pecahan decimal

Contoh:

Maka bentuk desimal dari  adalah 0,12

Pecahan campuran

Bentuk dari pecahan campuran dapat ditulis sebagai berikut:

, o ≠ 0

Contoh:

Operasi Hitung pada Pecahan

Perkalian pecahan

Sifat-sifat perkalian pecahan, yaitu:

Pembagian pecahan

Catatan:

• a < b maka,
• a > b maka,
• 0 < a < b < c maka

Contoh:

Penjumlahan dan pengurangan

Penjumlahan dan pengurangan dapat langsung dilakukan jika penyebutnya bernilai sama (mencari KPK). Sifat-sifat untuk melakukan operasi hitung sebagai berikut:

• Komutatif

  Berlaku:

  

  b dan d ≠ 0

• Asosiatif

  Berlaku:

  

  b, d, dan f ≠ 0

  Contoh:

  • 
  • 

Soal No.1

Hasil dari -25 – (-24) adalah …

1. -2
2. -1
4. 1

PEMBAHASAN :
-25 – (- 24) = -25 + 24 = 24 – 25 = -1
Maka -25 – (- 24) = -1
Jawaban B

Soal No.2

Jika diketahui x = -4, y = 5, dan z = -8 maka nilai dari  adalah….

PEMBAHASAN :

Jawaban A

Soal No.3

Hasil dari 525 : (-5) + 6 – 8 x 15 adalah….

PEMBAHASAN :
525 : (-5) + 6 – 8 x 15
⇒ [525 : (-5)] + 6 – [8 x 15]
⇒ -105 + 6 – 120 = -219
Jawaban C

Soal No.4 (UAN 2011)
Urutan pecahan terkecil ke pecahan terbesar dari 0,45; 0,85; ; dan 78% adalah….

PEMBAHASAN :
Ubah bentuk pecahan menjadi desimal, sehingga :


0,45; 0,85; ; dan 78% = 0,45 ; 0,85; 0,875; 0,78
maka jika diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar
0,45; 0,78; 0,85; 0,875   atau
0,45; 78%; 0,85;
Jawaban B

Soal No.5

Andi memiliki uang sebanyak Rp. 450.000. Setiap hari Andi membelanjakannya Rp. 30.000. Maka pada hari ke-11 sisa uang Andi adalah…

PEMBAHASAN :
Menentukan sisa uang Andi pada hari ke-11
Sisa Uang Andi = (Uang awal) – (Uang yang di belanjakan tiap hari x jumlah hari)
= (Rp. 450.000) – (Rp. 30.000 x 11 hari)
=Rp. 450.000 – Rp. 330.000
= Rp. 120.000
Maka sisa uang Andi setelah 11 hari adalah Rp. 120.000
Jawaban C

Soal No.6

Hasil dari adalah…

PEMBAHASAN :
Perkalian dan pembagian dalam pecahan memiliki kedudukan yang sama kuat, sehingga pengoperasiannya dapat dimulai dari kiri ke kanan


Jawaban D

Soal No.7

Di dalam satu kelas terdapat 25 murid laki-laki dan 15 murid perempuan maka persentase siswa perempuan terhadap laki-laki adalah…

PEMBAHASAN :
Jumlah murid dalam satu kelas = 25 + 15 = 40 orang
Maka persentase jumlah murid perempuan di dalam satu kelas adalah:

Jawaban A

Soal No.8

Jika diketahui 8 x (4x – 2) = 48. Maka Invers x adalah…

PEMBAHASAN :
8 x (4x – 2) = 48
maka 4x – 2 = 6, karena 8 x 6 = 48
Sehingga:
4x – 2 = 6
4x = 6 + 2 = 8
x = 2
Invers dari 2 adalah -2
Jawaban C

Soal No.9

FPB dari 72, 64 dan 48 adalah…

PEMBAHASAN :
Faktorisasi prima dari 72 adalah 3² x 8
Faktorisasi prima dari 64 adalah 2³ x 8
Faktorisasi prima dari 48 adalah 2 x 3 x 8

Maka FPB dari 72, 64 dan 48 adalah 8
Jawaban B

Soal No.10

Seorang siswa mengikuti ujian dengan mengerjakan 20 soal dari 35 soal. 5 jawaban salah dan sisanya benar. Jika poin jawaban benar adalah 4 dan poin jawaban salah -1 maka nilai siswa tersebut adalah …

1. 55
2. 60
3. 65
4. 70

PEMBAHASAN :
Jumlah Soal = 35 soal
Soal yang dijawab = 20 soal
Soal yang tidak diisi = 15 soal
Jawaban benar = 20 – 5 = 15
Jawaban salah = 5
Maka nilai siswa tersebut adalah
nilai = (jawaban benar x 4) + (jawaban salah x 5)  = (15 x 4) + (5 x (-1)) = 60 – 5 = 55
Jawaban A

Soal No.11

Nilai yang paling rendah adalah …

2. – 5
3. – 10
4. 3

PEMBAHASAN :
Perhatikan garis bilangan di bawah ini!

Pada garis bilangan berlaku semakin ke kanan, nilai bilangan semakin besar sedangkan semakin ke kiri, nilai bilangan semakin kecil.
Maka nilai yang paling rendah adalah – 10
Jawaban C

Soal No.12

Hasil perhitungan dari – 15 – 10 = …

PEMBAHASAN :
-15 – 10 = -25
Jawaban B

Soal No.13

Kenaikan permukaan laut setiap 100 m menyebabkan temperatur udara turun 0,25⁰ C. Apabila suhu di permukaan laut 38⁰ C, maka suhu pada ketinggian 3.200 m di atas permukaan laut adalah … ⁰ C.

PEMBAHASAN :
Menghitung perubahan suhu pada permukaan laut:

Maka suhu pada ketinggian 3.200 m di atas permukaan laut:
38⁰ C –  8⁰ C = 30⁰ C
Jawaban A

Soal No.14 
Hasil perhitungan dari 16 x ( – 5) x 12 adalah …

PEMBAHASAN :
16 x ( – 5) x 12 = – 80 x 12 = – 960
Jawaban D

Soal No.15

Nilai x yang memenuhi  adalah …

PEMBAHASAN :

Jawaban B

Soal No.16

Hasil perhitungan dari 256 : 8 : ( – 6) adalah …

1. 6
2. –8
3. 4
4. -2

PEMBAHASAN :
256 : 8 : ( – 4) = 32 : (- 4) = – 8
Jawaban B

Soal No.17

Hasil perhitungan dari  adalah …

PEMBAHASAN :
Pada soal di atas berlaku sifat distributif yaitu: (a x b) – (a x c) = a x (b – c), maka:

Jawaban D

Soal No.18

Pada sebuah garis bilangan menunjukkan bahwa tanda panah melangkah dari 0 ke sebelah kiri 5 langkah, kemudian melangkah kembali sebanyak 3 langkah dari – 5 sehingga diperoleh angka – 8. Maka operasi hitung yang tepat adalah …

PEMBAHASAN :

Maka operasi hitung yang tepat yaitu: – 5 – 3 = – 8
Jawaban A

Soal No.19

Distribusi barang pada sebuah perusahaan dijadwalkan setiap 24 hari sekali, 12 hari sekali, dan 8 hari sekali. Barang-barang tersebut akan didistribusikan pada hari yang sama tanggal 1 Agustus 2020. Distribusi akan kembali dilakukan pada hari yang sama pada tanggal …

PEMBAHASAN :
Jadwal 24 hari sekali → 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2³ x 3
Jadwal 12 hari sekali → 12 = 2 x 2 x 3 = 2² x 3
Jadwal 8 hari sekali → 2 x 2 x 2 = 2³
KPK 24, 12, dan 8 = 2³ x 3 = 24
Maka tanggal distribusi yang sama adalah 1 Agustus 2020 + 24 hari = 25 Agustus 2020
Jawaban C

Soal No.20

KPK dari 35, 25, dan 15 adalah …

1. 225
2. 525
3. 625
4. 325

PEMBAHASAN :
Faktorisasi prima → 35 = 5 x 7
Faktorisasi prima → 25 = 5 x 5 = 5²
Faktorisasi prima → 15 = 5 x 3
Kpk dari 35, 25, dan 15 = 5² x 7 x 3 = 525
Jawaban B

Soal No.21

Sebuah sekolah akan memberikan 3 jenis buku pelajaran pada siswa-siswinya. Sekolah tersebut menyediakan  84 buku IPA, 144 buku matematika, dan 54 buku IPS. Buku tersebut dapat dibagikan dengan jumlah yang sama pada … anak.

1. 4
2. 5
3. 6
4. 7

PEMBAHASAN :
84 buku IPA, faktorisasi prima dari 84 = 2 x 2 x 3 x 7 = 2² x 3 x 7
144 buku matematika, faktorisasi prima dari 144 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 2⁴ x 3²
54 buku IPS, faktorisasi prima dari 54 = 2 x 3 x 3 x 3 = 2 x 3³
Untuk menghitung jumlah pembagian buku yang sama dapat diketahui dengan menentukan FPB dari 84, 144, dan  54  adalah 2 x 3 = 6
Jawaban C

Soal No.22

Faktorisasi prima dari 216 adalah …

PEMBAHASAN :

Faktorisasi prima dari 216 = 2 x 2 x 2  x 3 x 3 x 3 = 2³ x 3³
Jawaban A

Soal No.23

Perhatikan gambar di bawah ini!

Luas daerah yang diarsir pada gambar diatas adalah …

PEMBAHASAN :
Menentukan luas daerah yang diarsir sebagai berikut:
Jumlah kotak pada gambar = 12 kotak
Jumlah kotak yang diarsir = 5 kotak
Maka luas daerah yang diarsir =
Jawaban D

Soal No.24

Pecahan yang senilai dengan adalah …

PEMBAHASAN :

Jawaban D

Soal No.25

Pecahan yang paling sederhana dari   adalah …

PEMBAHASAN :
Menentukan bentuk paling sederhana dari pecahan, sebagai berikut:

Jawaban B

Soal No.26

Pecahan yang disisipkan antara  dan  adalah …

PEMBAHASAN :
Menentukan pecahan yang disisipkan antara dua pecahan adalah  sebagai berikut:

• Menyamakan penyebut pada pecahan-pecahan tersebut
• Hitung KPK dari 12 dan 30, sebagai berikut:
  Faktorisasi prima dari 12 = 2 x 2 x 3 = 2² x 3
  Faktorisasi prima dari 30 = 2 x 3 x 5
  Maka KPK = 2² x 3 x 5 = 60
• Mengubah penyebut pecahan menjadi 60, sebagai berikut:

Pecahan yang terletak diantara adalah

Jawaban A

Soal No.27

Pada pecahan tanda yang benar untuk melengkapi jawaban tersebut adalah …

PEMBAHASAN :
Untuk memberikan tanda yang benar, samakan penyebut dari kedua pecahan tersebut:

Maka tanda yang benar adalah 21 > 5 atau
Jawaban A

Soal No.28

Pecahan berikut ini urutkan dari yang terbesar yaitu …

PEMBAHASAN :
Untuk mengurutkan beberapa pecahan, samakan penyebutnya dengan menghitung KPK dari 3, 4, 6, 5, 2 sebagai berikut:
Faktorisasi prima dari 3 = 3
Faktorisasi prima dari 4 = 2²
Faktorisasi prima dari 6 = 2 x 3
Faktorisasi prima dari 5 = 5
Faktorisasi prima dari 2 = 2
KPK nya = 2² x 3 x 5 = 60

Sehingga diperoleh pecahan yaitu:

Maka urutan dari yang terbesar menjadi 50, 48, 45, 30, 20 atau
Jawaban B

Soal No.29

Bentuk persen dari pecahan biasa  adalah … %.

PEMBAHASAN :
Mengubah pecahan biasa menjadi persen, sebagai berikut:

Jawaban A

Soal No.30

Bentuk pecahan biasa dari pecahan campuran  adalah …

PEMBAHASAN :
Mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa sebagai berikut:

Jawaban D

Soal No.31

Hasil perhitungan dari  adalah …

PEMBAHASAN :
Untuk menghitung beberapa pecahan samakan penyebutnya dengan mencari nilai KPK dari 5, 4, dan 7 sebagai:
Faktorisasi prima dari 5 = 5
Faktorisasi prima dari 4 = 2 x 2 = 2²
Faktorisasi prima dari 7 = 7
KPK nya = 2² x 5 x 7 = 140
Maka
Jawaban C

Soal No.32

Nilai dari operasi hitung (p x q) – r , jika adalah …

PEMBAHASAN :

Jawaban A

Soal No.33

Sebuah taman berbentuk persegi dengan panjang sisi 11,5 m. maka luas taman tersebut adalah … m² .

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Taman berbentuk persegi
Panjang sisi = s = 11,5 m
Rumus luas persegi = s²

Maka luas taman dapat dihitung sebagai berikut:
L = s²
L = (11,5m)²
L = 132,25 m²
Jawaban D

Soal No.34 
Jika jumlah dua pecahan adalah , selisih dua pecahan adalah , maka hasil kali dua pecahan tersebut adalah …

PEMBAHASAN :
Pecahan 1, misalnya x
Pecahan 2, misalnya y

Maka:

Menentukan niai x dan y dengan menjumlahkan kedua persamaan di atas, sebagai berikut:

Sehingga hasil kali x dan y adalah:

Jawaban A

Soal No.35

Nilai lima perdelapan dari X adalah 40. Bilangan X adalah …

1. 48
2. 56
3. 64
4. 72

PEMBAHASAN :
Kalimat matematika yang sesuai dengan kalimat di atas adalah

Jawaban C

Soal No.36

Bentuk desimal dari  adalah …

PEMBAHASAN :
Untuk lebih memudahkan mengubah kebentuk desimal, ubah penyebutnya menjadi 10, 100, atau 1.000, … dst. Maka perhitungannya sebagai berikut:

Jawaban C

Soal No.37

Dewi membeli tepung terigu sebanyak 12 kg, tepung terigu tersebut akan dijual kembali dengan kemasan yang lebih kecil masing ¼ kg. Maka jumlah kemasan tepung terigu tersebut menjadi … bungkus.

PEMBAHASAN :
Jumlah kemasan tepung terigu dapat dihitung sebagai berikut:

Jawaban B

Soal No.38
Deni  memiliki buah jeruk sebanyak 10½ kg. Jeruk tersebut diberikan ke beberapa temannya, Risa mendapatkan 2½ kg, Ita mendapatkan 3¼ kg, dan Sinta mendapatkan 2¼ kg. Maka sisa buah jeruk milik Deni adalah … kg.

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Jumlah total buah jeruk Deni 10½ kg
Jeruk Risa 2½ kg
Jeruk Ita 3¼ kg
Jeruk Sinta 2¼ kg

Maka sisa buah jeruk Deni = total buah jeruk Deni – jeruk Risa – jeruk Ita – jeruk Sinta

Jawaban D

Soal No.39

Kaos sebanyak 20 buah dijual dengan harga Rp 1.000.000,00. Apabila kaos sebanyak 1¼ lusin akan terjual dengan harga …

PEMBAHASAN :
Diketahui:
1 lusin = 12 buah

Maka harga kaos tersebut dapat dihitung sebagai berikut:

Jawaban B