Rangkuman, Contoh Soal & Pembahasan Trigonometri

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.31 (UN 2001)

Himpunan penyelesain dari sin (x-20) + sin (x+70) – 1 ≥0 untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah……

1. {x│20 ≤ x≤ 100}
2. {x│ 35 ≤ x ≤ 100}
3. {x│ x≤ 50 atau x ≥ 130}
4. {x│≤ 35 atau x≥ 145}
5. {x│x ≤ 50 atau x ≥ 310}

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.32 (SIMAK UI 2011)

Nilai-nilai x, untuk 0^o ≤ x ≤ 360° yang memenuhi sin x + sin 2x > sin 3x adalah …

1. 0° < x < 120°, 180° < x < 240°
2. 0° < x < 150°, 180° < x < 270°
3. 120° < x < 180°, 240^o < x < 360°
4. 150° < x < 180°, 270° < x < 360°
5. 0° < x < 135°, 180° < x < 270°

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.33 

Jika 0° , maka sin x° adalah…

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.34 

Diketahui sudut a di kuadran IV dan , maka sin a = …

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.35 

Diketahui ΔPQR siku-siku di Q, ∠P = x, ∠R = x, dan PR = 60, maka keliling ΔPQR = …

1. 30(1 – )
2. 90(1 + 2)
3. 30(2 – )
4. 60(1 + )
5. 20(3 + 2)

PEMBAHASAN :

∠P + ∠R = 90
x + x = 90
2x = 90⁰
x = 45

PQ = PR . sin x
.     = 60 . sin 45
.     = 60 . ½
.     = 30

QR = PR . cos x
.      = 60 . cos 45⁰
.      = 60 . ½
.      = 30

Maka keliling ΔPQR dapat dihitung sebagai berikut:
K ΔPQR = PQ + PR + QR
.               = 30 + 60 + 30
.               = 60 + 60
.               = 60(1 + )
Jawaban : D

Soal No.36 

Jika θ = 3/2, maka ¼ sin θ cos θ – tan θ adalah …

1. ½
2. -1/3
3. -¼
4. -½
5. 1/5

PEMBAHASAN :
θ = 3/2
θ = 3/2 x 180 = 270
sin 270 = sin (180 + 90) = 0 + 1 = 1
cos 270 = cos (180 + 90) = -1 + 0 = -1
tan 270 = tan (180 + 90) = 0

Maka ¼ sin θ cos θ – tan θ = ¼ sin 270 cos 270 – tan 270
.                                                = ¼ . 1 . -1 – 0 = -¼
Jawaban : C

Soal No.37 

Diketahui bujur sangkar ABCD dengan panjang diagonal 4p berpotongan di titik O, X terletak pada OC, dan OX = ½OC. Maka sin ∠XBO adalah …

PEMBAHASAN :

Diagonal bidang AC = BD = 4p
OB = ½ BD = ½ . 4p = 2p
OX = ½ OC =  AC = . 4p = p

Maka sin ∠XBO dapat dihitung sebagai berikut:

Jawaban : E

Soal No.38 

Sin² (20) + sin² (50) + sin² (70) + sin² (40) = …

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

PEMBAHASAN :
Berlaku sin² a + cos² a = 1
Sin 20 = sin (90 – 70⁰ ) = cos 70
Sin 50⁰ = sin (90 – 40) = cos 40

Maka soal di atas dapat diselesaikan sebagai berikut:
Sin² (20) + sin² (50) + sin² (70) + sin² (40)
= Cos² (70⁰ ) + cos² (40) + sin² (70) + sin² (40)
= {Cos² (70⁰ ) + sin² (70)} + { cos² (40) + sin² (40)}
= 1 + 1
= 2
Jawaban : B

Soal No.39 

Diketahui sin α + cos α = 2, maka sin³ α + cos³ α = …

1. 11
2. 20
3. 13
4. 17
5. 25

PEMBAHASAN :
Berlaku sin² α + cos² α = 1
Misalkan:
p = sin α
q = cos α
p + q = 2
(p + q)² = 4
P² + 2pq + q² = 4
(p² + q²) + 2pq = 4
1 + 2pq = 4
2pq = 3
pq = 3/2

Maka sin³ α + cos³ α
= p³ + q³
= (p + q)³ + 3p²q + 3pq²
= (p + q)³ + 3pq(p + q)
= 2³ + 3.3/2(2)
= 8 + 9
= 17
Jawaban : D

Soal No.39 

Diketahui ΔABC dengan AB = 100 cm, ∠A = 60⁰ , ∠B = 75⁰ , dan ∠C = 45⁰ . Maka Panjang BC adalah …

PEMBAHASAN :


Jawaban : A

Soal No.40 

Diketahui ΔPQR, Panjang PR = 6, QR = 3, dan ∠Q = 60⁰ . Maka tan ∠P adalah …

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.41 

Nilai  akan bernilai sama dengan …

1. 1 – sin x
2. 1 + tan x
3. 1 + cos x
4. ½ – sin x
5. ½ – cos x

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.42 

Diketahui sebuah lingkaran memiliki panjang jari-jari 10 cm yang dibuat segi enam beraturan. Maka panjang sisi segi enam tersebut adalah …

1. 10 cm
2. 6 cm
3. 13 cm
4. 8 cm
5. 11 cm

PEMBAHASAN :

Maka panjang sisi segi enam beraturan tersebut dapat dihitung sebagai berikut:
Misalkan:
Panjang sisi = a

Jawaban : B

Soal No.43 

Terdapat ΔABC dengan a = 3, b = 3, dan c = 4. Maka cos A = …

PEMBAHASAN :
Diketahui:
a = 3
b = 3
c = 4

Jawaban : A

Soal No.44 

Diketahui luas ΔPQR = 20 cm² , panjang PR = 10 cm, dan panjang PQ =  8 cm. Maka cos ∠RPQ  adalah …

PEMBAHASAN :
Luas ΔPQR = ½ . PR . PQ . sin ∠RPQ
20 = ½ . 10 . 8 . sin P
20 = 40
Sin ∠RPQ =
∠RPQ = 30
Maka cos ∠RPQ = ½
Jawaban : D

Soal No.45 

Sebuah segitiga dengan titik-titik sudut (-6,0), (6,0), dan (6 cos α, 6 sin α). Banyak nilai α yang mungkin agar luas segitiga tersebut 12 adalah … (0 ≤ x ≤ 2p).

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

PEMBAHASAN :

Luas Δ = ½ . alas . tinggi
12 = ½ . 12 . 6 sin α
12 = 36 sin α

Maka terdapat 4 nilai a pada segitiga tersebut
Jawaban : D

Soal No.46 

Diketahui tan a = dan tan b = 1 dengan a dan b adalah sudut lancip. Maka sin (a – b) adalah …

1. ¼ (1 – )
2. ½(1 + )
3. ¼ ( – )
4. 2 (1 + )
5. (1 – )

PEMBAHASAN :
tan a = , a = 30
tan b = 1 , b = 45

sin a = ½
cos a = ½

sin b = ½
cos b = ½

sin (a – b) = sin a . cos b – cos a . sin b
= ½ . ½ – ½ . ½
= ¼ – ¼
= ¼ (1 – )
Jawaban : A

Soal No.47 

Sebuah segitiga ABC dengan cos ∠A = , cos ∠B = , maka sin ∠C = …

PEMBAHASAN :
Diketahui
cos ∠A =
→ sin ∠A =
cos ∠B =
→ sin ∠B =

Maka sin ∠C dapat dihitung sebagai berikut:
Sin ∠C = sin {180⁰ – (A + B)}
= sin (A + B)
= (sin A . cos B) + (cos A . sin B)

Jawaban : B

Soal No.48 

Hasil perhitungan dari cos 25⁰ cos 35⁰  – sin 25⁰ sin 35⁰ = …

1. 30
2. 40
3. 50⁰
4. 60
5. 90

PEMBAHASAN :
cos 25⁰ cos 35⁰  – sin 25⁰ cos 35⁰
= cos (25⁰ + 35)
= cos 60
= cos (90⁰ – 60)
= sin 30
Jawaban : A

Soal No.49 

Jika α – β = ½ π, sin α . sin β = 1/3, dan α dan β adalah sudut lancip. Maka nilai cos (α + β) = …

PEMBAHASAN :
α – β = ½ π
Cos (α – β) = cos ½ π
Cos α cos β + sin α . sin β = ½
Cos α cos β +  = ½
Cos α cos β =
cos (α + β) = Cos α cos β – sin α . sin β

Jawaban : E

Soal No.50 

Jika sin α – sin β = dan cos α + cos β = . Maka cos (α + β) = …

PEMBAHASAN :
Diketahui:
sin α – sin β =
cos α + cos β =

Persamaan 1:
sin α – sin β = (kuadratkan)
sin² α – 2 sin α sin β + sin² β = P

Persamaan 2:
cos α + cos β = (kuadratkan)
cos² α + 2 cos α cos β + cos² β = Q

Berlaku:
sin² x + cos² x = 1

Jumlahkan persamaan 1 dan 2 sebagai berikut:
(sin² α + cos² α) + 2(cos α cos β – sin α sin β) + (sin² β + cos² β) = P + Q
1 + 2(cos α cos β – sin α sin β) + 1 = P + Q
2 + 2 cos (α + β) = P + Q
Cos (α + β) =
Jawaban : B

Soal No.51 

Diketahui α dan β merupakan sudut lancip, cos (α – β) = , dan cos α . cos β = . Maka

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.52 

Jika sin α =  dan α merupakan sudut lancip. Maka nilai cos 2α adalah …

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.53 

Hasil perhitungan dari 2 sin 30⁰ cos 30⁰ adalah …

1. 
2. 
3.  
4. 
5. 1

PEMBAHASAN :
2 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α – β)
2 sin 30⁰ cos 30⁰ = sin (30⁰ + 30) + sin (30⁰ – 30)
2 sin 30⁰ cos 30⁰ = sin 60⁰ + sin 0
2 sin 30⁰ cos 30⁰ =  + 0
2 sin 30⁰ cos 30⁰ =
Jawaban : D

Soal No.54 

Bentuk sederhana dari trigonometri 5 sin A sin B adalah …

1. – sin B
2. – 5 cos B
3. sin A + sin B
4. sin A – sin B
5. cos (A + B)

PEMBAHASAN :
5 sin A sin B = 5 x ½ {cos (A – B) – cos (A + B)}
5 sin A sin B = 5 x ½ (cos A – cos B – cos A – cos B)
5 sin A sin B = 5 x ½ (- 2 cos B)
5 sin A sin B = – 5 cos B
Jawaban : B

Soal No.55 

Hasil perhitungan dari sin 90⁰ + sin 30⁰ = …

PEMBAHASAN :
sin 90⁰ + sin 30⁰ = 2 sin ½ (90⁰ + 30⁰ ) . cos ½ (90⁰ – 30)
sin 90⁰ + sin 30⁰ = 2 sin ½ (120) . cos ½ (60)
sin 90⁰ + sin 30 = 2 sin 60⁰ . cos 30
sin 90⁰ + sin 30⁰ = 2 ..
sin 90⁰ + sin 30⁰ =
Jawaban : A

Soal No.56 

Jika sin α = , maka nilai sin 2α = …

PEMBAHASAN :
Berlaku:
Sin 2α = 2 sin α cos α
Segitiga dengan tipe teorema Pythagoras, maka cos α =
Sin 2α = 2 sin α cos α
Sin 2α = 2 . .
Sin 2α =
Jawaban : E

Soal No.57 

Nilai dari

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.58 

Diketahui P, Q, R adalah sudut-sudut ΔPQR dengan P – Q = 60⁰ dan sin C = 2/3. Maka sin P cos Q = …

PEMBAHASAN :
Sin P cos Q = ½ {sin (P + Q) + sin (P – Q)}
Sin P cos Q = ½ {sin (180⁰ – C) + sin 60⁰ }
Sin P cos Q = ½(sin C +)
Sin P cos Q = ½( +)
Sin P cos Q =
Jawaban : C

Soal No.59 

Nilai dari cot 90⁰ . tan 30⁰ = …

2. 1
3. ½
4. 
5. 

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.60 

Nilai x dari persamaan sin 2x – sin x = 0 (0⁰ ≤ x ≤ 360⁰ ) adalah …

1. ⁰ dan 30⁰
2. ⁰ dan 60⁰
3. 20⁰ dan 50⁰
4. 30⁰ dan 45
5. 45⁰ dan 90

PEMBAHASAN :
sin 2x – sin x = 0
2 sin x cos x – sin x = 0
sin x (2 cos x – 1) = 0
sin x = 0 → x = 0
2 cos x – 1 = 0
2 cos x = 1
cos x = ½ → x = 60
Jawaban : B

Soal No.61 

Jika cos 2x – cos x = 2 dengan 0⁰ ≤ x ≤ 360⁰ . Maka nilai x yang memenuhi adalah …

1. 90
2. 60
3. 120
4. 270
5. 180

PEMBAHASAN :
(2 cos² x – 1) – cos x – 2 = 0
2 cos² x – cos x – 3 = 0
Misalkan:
cos x = a
Berlaku:
-1 ≤ cos x ≤ 1
Maka 2 cos² x – cos x – 3 = 0 → 2a² – a – 3 = 0
(2a – 3)(a + 1) = 0
2a – 3 = 0
2a = 3
a =  3/2 (tidak memenuhi)
a + 1 = 0
a = – 1 (memenuhi)
cos x = – 1
x = 180
Jawaban : E

Soal No.62 

Diketahui persamaan + 2 cos x = 0 dengan 0⁰ ≤ x ≤ 360⁰ . Maka nilai x₁ dan x₂ adalah …

1. 135⁰ dan 225
2. 90⁰ dan 270
3. 180⁰ dan 180
4. 150⁰ dan 210
5. 120⁰ dan 240

PEMBAHASAN :
+ 2 cos x = 0
2 cos x = –
cos x = – ½
x₁ = 150⁰ 
x₂ = 210
Jawaban : D

Soal No.63 

Jika tan A = dan tan B =  . Maka tan (A + B) adalah …

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.64 

Terdapat sudut lancip α dalam suatu sudut segitiga, jika . Maka α = …

1. 30
2. 60
3. 90
4. 120
5. 150

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.65 

Hasil perhitungan  semua anggota himpunan penyelesaian dari persamaan untuk 0 ≤ x ≤ 2p adalah …

1. {45⁰ , 135⁰ , 225⁰ , 315⁰ }
2. {30⁰ , 60⁰ , 180⁰ , 270⁰ }
3. {60⁰ , 120⁰ , 180⁰ , 240⁰ }
4. {0⁰ , 45⁰ , 135⁰ , 225⁰ }
5. {90⁰ , 180⁰ , 270⁰ , 360⁰ }

PEMBAHASAN :

→ kalikan cos x
2 cos² x – 2 cos x + 1 = 0
( cos x – 1)² = 0
( cos x – 1) ( cos x – 1) = 0
 cos x – 1 = 0
cos x = ± ½

kuadran I → x = 45
kuadran II → x = 135⁰
kuadran III → x = 225
kuadran IV → x = 315
Jawaban : A

Soal No.66 

Nilai-nilai x yang memenuhi 4 cos⁴ x – 4 cos² x = 0 dengan 0 ≤ x ≤ ½π adalah …

1. 30 dan 60
2. dan 90
3. 45 dan 45
4. 60 dan 120
5. 90 dan 90

PEMBAHASAN :
4 cos⁴ x – 4 cos² x = 0
4 cos² x (cos² x – 1) = 0
4 cos² x = 0
cos x = 0
x = 90
cos² x – 1 = 0
cos x = 1
x = 0
Jawaban : B

Soal No.67 

Nilai minimun untuk f(x) = 3 sin (x – ) + 2 adalah …

2. 1
3. – ½
4. – 1
5. 2

PEMBAHASAN :
Berlaku:
y = a sin kx + c
nilai y minimum = – |a|+ c
f(x) = 3 sin (x – ) + 2
a = 3
c = 2
Maka nilai y minimum = – |3|+ 2 = – 1
Jawaban : D

Soal No.68 

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2 cos 2x⁰ + ≤ 0 dengan 0⁰ ≤ x ≤ 180⁰ adalah …

1. {x|67,5⁰ ≤ x ≤ 112,5}
2. {x|135⁰ ≤ x ≤ 225}
3. {x|90⁰ ≤ x ≤ 120}
4. {x|45⁰ ≤ x ≤ 125}
5. {x|30⁰ ≤ x ≤ 150}

PEMBAHASAN :
2 cos 2x⁰ + ≤ 0
cos 2x = -½
2x = 135 dan 225
x = 67,5 dan 112,5
Maka nilai yang memenuhi 67,5⁰ ≤ x ≤ 112,5

Jawaban : A

Soal No.69 

Nilai x yang memenuhi persamaan sin (x + 60) + cos (x + 60) = 0 dengan 0 ≤ x ≤ 360⁰ adalah …

1. {60⁰ , 300}
2. {120⁰ , 240}
3. {90⁰ , 270}
4. {180⁰ , – 180}
5. {- 90⁰ , – 270}

PEMBAHASAN :
sin (x + 60⁰ ) + cos (x + 60) = 0
sin (x + 60⁰ ) = – cos (x + 60)
berlaku:
cos x = sin (x – 90) atau sin(x + 90)

tan (x + 60) = tan 150
x + 60⁰ = 150⁰ ± k.180
x = 90⁰ ± k.180
k = 0 → x = 90⁰ (memenuhi)
k = 1 → x = – 90⁰ (tidak memenuhi) atau x = 270⁰ (memenuhi)
k = 2 → x = – 270⁰ (tidak memenuhi) atau 450⁰ (tidak memenuhi)

Maka himpunan penyelesaiannya = {90⁰ , 270}
Jawaban : C

Soal No.70

Perhatikan grafik berikut ini!

Persamaan untuk grafik di atas adalah …

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.71

Perhatikan kurva pada grafik berikut ini!

Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah …

1. y = 2 cos (2x – 20^o)
2. y = 2 cos (x – 20^o)
3. y = 2 cos (2x – 10^o)
4. y = 2 cos (x – 10^o)
5. y = 2 cos (2x – 40^o)

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.72

Perhatikan kurva pada grafik berikut ini!

Persamaan yang sesuai dengan kurva di atas adalah …

PEMBAHASAN :
Bentuk umum persamaan kurva pada grafik di atas adalah y = 2 sin x. Kurva tersebut bergeser ke kiri sejauh . Maka persamaannya menjadi:

Jawaban : B

Soal No.73

Nilai minimum dari f(x) = 3 sin (x – π/4) + 2 adalah …

1. -1
3. 1
4. 2
5. 3

PEMBAHASAN :
Bentuk umum dari persamaan tersebut adalah y = a sin kx + c
a = 3
c = 2
Untuk menghitung nilai y minimum sebagai berikut:
Nilai minimum = – |a|+ c = – 3 + 2 = – 1
Jawaban : A

Soal No.74

Diketahui F(x) = cos 2x + 2 dengan nilai maksimum F(x) adalah p dan nilai minimum F(x) adalah q. Maka nilai p² + q² = …

1. 10
2. 14
3. 16
4. 20
5. 30

PEMBAHASAN :
F(x) = cos 2x + 2
a =
c = 2
Nilai maksimum F(x) = p = |a| + c =  + 2
Nilai minimum F(x) = q = – |a| +  c = – + 2
Maka:
p² + q² = (+ 2 )² + (-+ 2 )²
(3 + 4+ 4 ) + (3 – 4+ 4 )
= 14
Jawaban : B

Soal No.75

Nilai maksimum dari  adalah 4. Maka nilai m = …

1. 20
2. 18
3. 28
4. 32
5. 40

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.76

Nilai maksimum dan minimum dari y = 8 sin x + 6 cos x + 12 secara berturut-turut adalah …

1. 10 dan 5
2. 12 dan 4
3. 22 dan 2
4. 18 dan 8
5. 26 dan 10

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.77

Nilai yang memenuhi persamaan sin x + cos x = 1 dengan 0 ≤ x ≤ 360⁰ adalah …

1. 105⁰ dan 345
2. 90⁰ dan 180⁰
3. 45⁰ dan 135
4. 120⁰ dan 240
5. 75⁰ dan 225

PEMBAHASAN :
sin x +  cos x = 1

Kalikan persamaan di atas dengan ½, sehingga:
½ sin x + ½ cos x = ½
sin 45⁰ sin x + cos 45⁰ cos x  = cos 60⁰
cos (x – 45) = cos 60

Maka diperoleh:
x – 45⁰ = ± 60⁰ + k . 360
x₁ – 45⁰ = 60⁰ + k . 360⁰
x₁ = 105⁰ + k . 360
k = 0 → x₁ = 105⁰ + k . 360⁰ → x₁ = 105⁰ + 0 . 360 = 105⁰ (memenuhi)
k = 1 → x₁ = 105⁰ + k . 360⁰ → x₁ = 105⁰ + 1 . 360⁰ = 465⁰ (tidak memenuhi)
x₂ – 45⁰ = – 60⁰ + k . 360
x₂ = – 15⁰ + k . 360
k = 0 → x₂ = – 15⁰ + k . 360⁰ → x₂ = – 15⁰ + 0 . 360⁰ = – 15⁰ (tidak memenuhi)
k = 1 → x₂ = – 15⁰ + k . 360⁰ → x₂ = – 15⁰ + 1 . 360⁰ = 345⁰ (memenuhi)
Jawaban : A

Soal No.78

Himpunan penyelesaian dari tan (30 – ½ x)⁰ = cot (x + 60)⁰ dengan 0 ≤ x ≤ 360⁰ adalah …

1. {60⁰ , 300}
2. {45⁰ , 180}
3. {0⁰ , 360}
4. {0⁰ , 90}
5. {120⁰ , 240}

PEMBAHASAN :
tan (30 – ½ x)⁰ = cot (x + 60)
tan (30 – ½ x)⁰ = tan (90 – (x + 60))
tan (30 – ½ x)= tan (- x + 30)
30⁰ – ½ x = – x + 30⁰ + k . 180
x – ½ x = k . 180
½ x = k . 180
x = k . 360
k = 0 → x = k . 360⁰ → x = 0
k = 1 → x = 1 . 360⁰ → x = 360
Maka Hp = {0⁰ , 360}
Jawaban : C