Rangkuman, Contoh Soal & Pembahasan Fungsi Kuadrat

Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat juga dikenal sebagai fungsi polinom atau fungsi suku banyak berderajat dua dalam variabel x.

Bentuk Umum

Bentuk umum fungsi kuadrat: ƒ(x) = ɑx² + bx + c , (a, b, dan c ∈ R, ɑ ≠ 0) untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Grafik fungsi kuadrat dalam bidang Cartesius dikenal sebagai parabola.

1. Koordinat titik puncak atau titik balik
   ƒ(x) = y = ɑx² + bx + c , (a, b, dan c ∈ R, ɑ ≠ 0) mempunyai titik puncak atau titik balik
   
   
2. Sumbu simetri x = x_p
3. Nilai maksimum/minimum y = y_p

Sifat Kurva Parabola

1. Berdasarkan koefisien “ɑ”
   Nilai a berfungsi untuk menentukan arah membukanya sebuah grafik.
   • Jika a > 0, parabola terbuka ke atas sedangkan titik baliknya minimum sehingga mempunyai nilai minimum.
   • Jika a < 0, parabola terbuka ke bawah sedangkan titik baliknya maksimum sehingga mempunyai nilai maksimum.

2. Berdasarkan koefisien “b”
   Nilai b berfungsi untuk menentukan posisi sumbu simetri pada grafik.
   • Untuk a dan b bertanda sama (a > 0, b > 0) atau (a < 0, b <0) maka, sumbu simetri berada di kiri sumbu y.
   • Untuk a dan b berlainan tanda (a < 0, b > 0) atau (a > 0, b < 0) maka, sumbu simetri berada di kanan sumbu y.

3. Berdasarkan koefisien “c”
   Nilai c berfungsi untuk menentukan titik potong dengan sumbu y.
   • Jika c > 0, grafik parabola memotong di sumbu y positif.
   • Jika c < 0, grafik parabola memotong di sumbu y negatif.

4. Berdasarkan D = b² – 4ac (diskriminan)
   • Jika D > 0 persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan. Parabola akan memotong sumbu x di dua titik. Untuk D kuadrat sempurna maka kedua akarnya rasional, sedangkan D tidak berbentuk kuadrat sempurna maka kedua akarnya irasional.
   • Jika D = 0 persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (akar kembar), real, dan rasional. Parabola akan menyinggung di sumbu x.
   • Jika D < 0 persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real (imajiner). Parabola tidak memotong dan tidak menyinggung di sumbu x.
   1. Untuk D < 0, a > 0 parabola akan selalu berada di atas sumbu x atau disebut definit positif.
   2. Untuk D < 0, ɑ < 0 parabola akan selalu berada di bawah sumbu x atau disebut definit negatif.

Menyusun Fungsi kuadrat

1. Apabila memotong di sumbu x di (x₁,0) dan (x₂,0), maka rumus yang berlaku: y = ƒ (x) = ɑ (x – x₁) (x – x₂).
2. Apabila titik puncak (x_p, y_p) maka rumus yang berlaku: y = ƒ (x) = ɑ (x – x_p)² + y_p.
3. Apabila menyinggung sumbu x di (x₁,0) maka rumus yang berlaku: y = ƒ (x) = ɑ (x – x₁)².

Hubungan Garis Dengan Parabola

Berdasarkan D = b² – 4ac, kedudukan garis terhadap parabola dibagi menjadi 3, yaitu:

1. D > 0 artinya garis akan memotong parabola di dua titik.
2. D = 0 artinya garis memotong parabola di satu titik (menyinggung)
3. D < 0 artinya garis tidak memotong dan tidak menyinggung parabola.

Soal No.3 (MADAS SNMPTN 2012)

Jika gambar di bawah ini adalah grafik fungsi kuadrat f dengan titik puncak (-2,0) dan melalui titik (0,-4) maka nilai f(-5) adalah …

1. -7
2. -8
3. -9
4. -10
5. -11

PEMBAHASAN :
Diketahui titik puncak ( x_p , y_p) = (-2,0), melalui titik (x , y) = (0,-4)
Rumus yang sesuai apabila diketahui titik puncak:
y = f(x) = a(x-x_p )² + y_p

Untuk mencari nilai a:
y = f(x) = a(x-x_p)² + y_p
y = a(x+2)² + 0
-4 = a(0+2)² + 0
-4 = 4a
a = -1

Sehingga
f(x) = -(x + 2)², dengan f(-5)
f(-5) = -(-5 + 2)² = -9
Jawaban : C

Soal No.4 (UN 2010)

Absis titik balik grafik fungsi  y = px² + (p – 3)x + 2 adalah p. Nilai p = …

1. -3
2. -3/2
3. -1
4. 2/3
5. 3

PEMBAHASAN :
Diketahui:
y = px² + (p – 3)x + 2
x_p = p

Ditanyakan: nilai p = …
Untuk menentukan absis titik puncak = x_p = – b/2a

-p + 3 = 2p²
2p² + p – 3 = 0
(2p + 3)(p – 1) = 0
p = – 3/2 atau p = 1
Maka, nilai p yang sesuai adalah p = – 3/2
Jawaban : B

Soal No.5 (MatDas SBMPTN 2013)
Jika grafik fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c mempunyai titik puncak (8,4) dan memotong sumbu-x negatif maka …

1. a > 0, b > 0 dan c > 0
2. a < 0, b < 0 dan c > 0
3. a < 0, b > 0 dan c < 0
4. a > 0, b > 0 dan c < 0
5. a < 0, b > 0 dan c > 0

PEMBAHASAN :
Diketahui titik puncak (8,4)
maka grafik terbuka ke bawah, maka a < 0
x_p = -b/2a = 8, karena a < 0 → b > 0
D = b² – 4ac, syarat memotong sumbu x negatif D > 0
karena b > 0 dan a < 0, maka:
b² – 4ac > 0
(+) – 4(-)c > 0
c > 0
Jawaban : E

Soal No.6 (UN 1998)

Diketahui fungsi kuadrat f(x) = – 2x² + 4x + 3 dengan daerah asal {x|-2 ≤ x ≤ 3, x ∈ R}. Daerah hasil fungsi adalah …

1. {y|-3 ≤ y ≤ 5, x ∈ R}
2. {y|-3 ≤ y ≤ 3, x ∈ R}
3. {y|-13 ≤ y ≤ -3, x ∈ R}
4. {y|-13 ≤ y ≤ 3, x ∈ R}
5. {y|-13 ≤ y ≤ 5, x ∈ R}

PEMBAHASAN :
Diketahui: {x|-2 ≤ x ≤ 3, x ∈ R}
x = -2, x = 1, x = 3
f(x) = -2x² + 4x + 3
x_p = -b/2a = -4/(2.-2) = 1
Untuk x = -2 → f (-2) = – 2(- 2)² + 4 (- 2) + 3 = – 8 – 8 + 3 = – 13
Untuk x = 1 → f(1)= -2(1)² + 4(1) + 3 = -2 + 4 + 3 = 5
Untuk x = 3 → 3 f(3) = -2(3)² + 4(3) + 3 = -18 + 12 + 3 = – 3
Maka, {y|-13 ≤ y ≤ 5, x ∈ R}
Jawaban : E

Soal No.7 (Matematika IPA SBMPTN 2014)

Diketahui suatu parabola simetris terhadap garis x = -2 dan garis singgung parabola tersebut dititik (0,1) sejajar dengan garis 4x + y = 4 . Titik puncak parabola tersebut adalah …

1. (-2,-3)
2. (-2,-2)
3. (-2,0)
4. (-2,1)
5. (-2,5)

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Asumsikan persamaan parabola  y = ax² + bx + c
parabola simetris terhadap garis x_p = -2
Tentukan x_p = -b/2a =-2 → b = 4
garis ≡ 4x+y = 4 → m_g = -4
karena  sejajar  maka m_parabola = m_garis = -4
m_parabola = y
2ax + b = -4 melalui titik (0,1)
2a(0) + b = -4
b = -4
Untuk menentukan x_p dan y_p:
b = 4a
-4 = 4a
a = -1

persamaan parabola y = ax² + bx + c
y = -x² – 4x + c melalui titik (0,1)
1 = -0² – 4(0) + c
c = 1

Maka dapat dihitung y = -x² – 4x + 1
x_p = -b/2a = -(-4)/2(-1) = -2 dan y_p = -(-2)² – 4(-2) +1= 5
Titik puncak parabola adalah (-2,5)
Jawaban : E

Soal No.8 (UN 2008)

Persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik A(1,0), B(3,0), dan C(0,-6) adalah …

1. y = 2x² + 8x – 6
2. y = -2x² + 8x – 6
3. y = 2x² – 8x + 6
4. y = -2x² – 8x – 6
5. y = -x²  + 4x – 6

PEMBAHASAN :
Untuk titik C (0,-6) → x = 0, y = – 6
Untuk titik A (1,0) dan B (3,0) → x₁ = 1, x₂ = 3
Maka rumus yang berlaku y = a(x – x₁)(x – x₂)
y = a(x – 1)(x – 3)
– 6 = (0 – 1)(0 – 3)
– 6 = 3a
a = – 2

Menentukan fungsi kuadrat:
y = a(x – x₁)(x – x₂)
y = – 2(x – 1)(x – 3)
y = – 2(x² – 4x + 3)
y = – 2x² + 8x – 6
Jawaban : B

Soal No.9 (TKPA SBMPTN 2014)

Fungsi kuadrat f(x) = x² + 2px + p mempunyai nilai minimum –p dengan p ≠ 0. Jika sumbu simetri kurva f adalah x = a, maka nilai a + f(a) = …

1. 6
2. 4
3. -4
4. -5
5. -6

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.10 (UN 2007)

Perhatikan gambar!

 

Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar adalah …

PEMBAHASAN :
Diketahui:
(x_p , y_p) = (1,4)
(x , y)  = (0,3)
Ditanyakan: Fungsi kuadrat yang terbentuk
Untuk parabola yang memiliki titik puncak rumus yang berlaku sebagai berikut:
y = a(x – x_p)² + y_p
y = a (x – 1)² + 4
3 = a(0 -1)² + 4
3 = a + 4
a = -1

Fungsi kuadrat yang terbentuk adalah
y = a(x – x_p)² + y_p
y = -1(x -1)² + 4
y = -x² + 2x + 3
Jawaban : C

Soal No.11 (MatDas SNMPTN 2009)

Grafik fungsi f(x)=x² – 6x + 7 dapat diperoleh dengan cara menggeser grafik fungsi f(x) = x² ke arah …

1. Kanan sumbu x sejauh 2 satuan dan ke arah bawah sumbu y sejauh 3 satuan
2. Kiri sumbu x sejauh 3 satuan dan ke arah atas sumbu y sejauh 2 satuan
3. Kanan sumbu x sejauh 3 satuan dan ke arah atas sumbu y sejauh 2 satuan
4. Kanan sumbu x sejauh 6 satuan dan ke arah atas sumbu y sejauh 7 satuan
5. Kiri sumbu x sejauh 2 satuan dan ke arah atas sumbu y sejauh 3 satuan

PEMBAHASAN :
Diketahui: f(x) = x² – 6x + 7
Ditanyakan: f(x) = x² digeser ke arah?
f(x) = x² – 6x + 7 = (x – 3)² – 2
Maka, grafik fungsi f(x) digeser ke arah anan sumbu x sejauh 3 satuan dan ke arah atas sumbu y sejauh 2 satuan.
Jawaban : C

Soal No.12 (UN 2007)

Perhatikan gambar!

Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah …

1. y = 2x² + 4
2. y = x² + 3x + 4
3. y = 2x² + 4x + 4
4. y = 2x² + 2x + 4
5. y = x²  + 5x + 4

PEMBAHASAN :
Diketahui:
(x_p , y_p) = (-1,2)
(x , y)  = (0,4)
Ditanyakan: Persamaan kuadratnya = …
Rumus yang berlaku:
y = a(x – x_p)² + y_p
y = a (x – (- 1))² + 2
4 = a(0 +1)² + 2
4 = a + 2
a = 2

Persamaan kuadrat yang terbentuk adalah
y = a(x – x_p)² + y_p
y = 2(x + 1)² + 2
y = 2x² + 4x + 4
Jawaban : C

Soal No.13 (Matematika Dasar SNMPTN 2011)

Grafik fungsi y = ax² + bx + c di tunjukkan berikut ini:

1. ab > 0 dan a + b + c > 0
2. ab < 0 dan a + b + c > 0
3. ab > 0 dan a + b + c ≤ 0
4. ab < 0 dan a + b + c < 0
5. ab < 0 dan a + b + c ≥ 0

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Kurva terbuka ke atas → a > 0
y = ax² + bx + c  memotong sumbu y positif → c > 0
Kurva memotong sumbu x di dua titik → D > 0
Maka: b² – 4ac > 0
b² – 4(+)(+) > 0
b > 0
Sehingga, ab > 0 dan a + b + c > 0
Jawaban : A

Soal No.14 (UN 1995)

Suatu fungsi kuadrat f(x) mempunyai nilai maksimum 5 untuk x = 2, sedangkan f(4) = 3. Fungsi kuadrat tersebut adalah …

1. y = – ½ x² + 2x + 3
2. y = – ½ x² – 2x + 3
3. y = – ½x² – 2x – 3
4. y = – 2x² – 2x + 3
5. y = – 2x² + 8x – 3

PEMBAHASAN :
Diketahui:
(x_{p ,}  y_p) = (2,5)
f(4) = 3 → (4,3)
Tentukan nilai a:
y = a(x – x_p)² + y_p
y = a(x – 2)² + 5
3 = a (4 – 2)² + 5
3 = 4a + 5
4a = – 2
a = – ½

Maka, fungsi kuadratnya menjadi sebagai berikut:
y = – ½ (x-2)² + 5
y = – ½ x² + 2x + 3
Jawaban : A

Soal No.15 (MATEMATIKA DASAR SNMPTN 2011)

Jika grafik fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c  dengan titik puncak (5,-4) memotong sumbu x positif dan sumbu y negatif maka …

1. a – c > 0
2. a + c < 0
3. a + c = 0
4. a + c > 0
5. a – c < 0

PEMBAHASAN :
Diketahui:
f(x) = ax² + bx + c
Kordinat titik puncak (5,4)
Memotong pada sumbu y negatif →
Tentukan x_p dan y_p:

a > 0
Maka, a – c > 0
Jawaban : C

Soal No.16 (UN 2003)

Grafik fungsi kuadrat dengan titik balik (-1,4) dan melalui titik (-2,3) memotong sumbu y di titik …

1. (0,3)
2. (0, 2½)
3. (0,2)
4. (0, 1½)
5. (0,1)

PEMBAHASAN :
Diketahui:
titik balik (x_p , y_p) → (-1,4)
(x , y) → (-2,3)
Tentukan terlebih dahulu fungsi kuadratnya:
y = a(x-x_p)² + y_p
y = a(x+1)² + 4
3 = a(-2+1)² + 4
3 = a + 4
a = -1
Fungsi kuadrat yang memenuhi adalah:
y = -1(x+1)² + 4
Maka, titik potong dengan sumbu y ⟶ x = 0
y = -1(0+1)² + 4 = 3
(0 , 3)
Jawaban : A

Soal No.17 (Matematika Dasar Simak UI 2012)

Diketahui bahwa f(x) adalah fungsi kuadrat yang memenuhi pertidaksamaan x^2-2x + 3 ≤ f(x) ≤ 2x² – 4x + 4 untuk semua bilangan riil x. Jika diketahui bahwa f(5) = 26, maka f(7) = …

1. 38
2. 50
3. 56
4. 74
5. 92

PEMBAHASAN :
Diketahui: x² – 2x + 3 ≤ f(x) ≤ 2x² – 4x + 4, x merupakan bilangan riil, f(5) = 26
Ditanyakan: Fungsi kuadrat untuk f(7)?
Untuk f(5) = 26:
x² – 2x + 3 ≤ f(x) ≤ 2x² – 4x + 4
5² – 2(5) + 3 ≤ f(5) ≤ 2(5) – 4(5) + 4
18 ≤ f(5) ≤ 34
18 ≤ 26 ≤ 34

Untuk f(7):
x² – 2x + 3 ≤ f(x) ≤ 2x² – 4x + 4
7² – 2(7) + 3 ≤ f(7) ≤ 2(7)² – 4(7) + 4
38 ≤ f(7) ≤ 74

38 + 2a = 74
a = 18
Maka, f(7) = 38 + 18 = 56
Jawaban : C

Soal No.18 (UN 2008)

Pak bahar mempunyai sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan lebar 10 m kurangnya dari setengah panjangnya. Apabila luasnya 400 m² maka lebarnya adalah … meter

1. 60
2. 50
3. 40
4. 20
5. 10

PEMBAHASAN :
Diketahui: L = 400 m², l = ½p – 10
Tentukan panjang tanah terlebih dahulu:
l = ½p – 10 ⟶ p = 2l + 20
l = p.l = (2l + 20) . l
400 = 2l² + 20l
2l² + 20l – 400 = 0
l² + 10l – 200 = 0
(l – 10)(l + 20)
l = 10 atau l = -20
Maka lebar tanah adalah 10
Jawaban : E

Soal No.19 (MATEMATIKA DASAR SIMAK UI 2012)

Diketahui f(x) = ax² + (b + 1)x – (a + b + 1) memotong sumbu x di dua titik berbeda. f(x) dibagi x mempunyai sisa – (a+6), maka a dipenuhi oleh …

1. a < -3 atau a > 3
2. -3 < a < 3
3. a ≠ -6
4. a < -2 atau a > 8
5. -2 < a < 8

PEMBAHASAN :
Diketahui:
f(x) = ax² + (b + 1)x – (a + b + 1) memotong sumbu x di dua titik berbeda → D > 0
f(x) dibagi x mempunyai sisa – (a+6)
Ditanyakan nilai a?
D = b² – 4ac
b = (b + 1), a = a, c = – (a + b + 1)
Persamaan 1:   (b + 1)² – 4.a.(-(a + b + 1)) > 0
Persamaan 2:   f(x) dibagi x mempunyai sisa –(a + 6) → f(0) = -(a + 6)
-(a + b + 1) = -(a + 6)
a + b + 1 = a + 6
a + b + 1 = 6 → b = 5 – a

Subtitusikan persamaan 1 dan 2:
(5 – a + 1 – 4a(- a + 5 – a + 1) > 0
(5 – a + 1 – 4a(-6) > 0
(6 – a)² + 24a > 0
a² – 12a + 36 + 24a > 0
a² + 12a + 36 > 0
(a + 6)(a + 6) > 0

Maka, a  ≠ -6
Jawaban : C

Soal No.20 (UN 2011)

Grafik y = px² + (p + 2)x – p + 4 memotong sumbu x di dua titik. Batas – batas nilai p yang memenuhi adalah …

1. p < -2 atau p > -2/5
2. p < 2/5  atau p > 2
3. p < 2 atau p > 10
4. 2/5 <  p < 2
5. 2 < p < 10

PEMBAHASAN :
Diketahui dari grafik y = px² + (p + 2)x – p + 4, yaitu:
b = p + 2
a = p
c = – p + 4
D = b² – 4ac, syarat memotong sumbu x di dua titik D > 0
b² – 4ac > 0
(p+2)² – 4.p.(-p + 4) > 0
p² – 4p + 4 + 4p² – 16p > 0
5p² – 12p + 4 > 0
(5p – 2)(p – 2) > 0
p = 2/5  atau p = 2

Sehingga, p < 2/5  atau p > 2
Jawaban : B

Soal No.21 (TKPA SBMPTN 2014)

Untuk 0 < a < 10, fungsi kuadrat f(x) = ax² + 2ax + 10 memenuhi sifat …

1. Selalu negatif
2. Selalu positif
3. Hanya positif pada setiap x, dengan 0 < x < 10
4. Hanya negatif pada setiap x, dengan 0 < x < 10
5. Hanya positif pada setiap x, dengan x < 0 atau x > 10

PEMBAHASAN :
Diketahui:
0 < a < 10
f(x) = ax² + 2ax + 10, b = 2a, a = a, c = 10
Ditanyakan: Sifat yang memenuhi fungsi kuadrat?
0 < a < 10 → a > 0
D = b² – 4ac
D = (2a)² – 4.a.10 = 4a² – 40a < 0
Untuk a > 0, D < 0 maka definit positif (selalu positif untuk setiap x)
Jawaban : B

Soal No.22 (UN 2011)

Grafik fungsi kuadrat f(x) = ax² + 2√2x + (a-1), a≠0 memotong sumbu x di dua titik berbeda. Batas – batas nilai a yang memenuhi adalah …

1. a < -1 atau a > 2
2. a < -2 atau a > 1
3. -1 < a < 2
4. -2 < a < 1
5. -2 < a < -1

PEMBAHASAN :
Diketahui: grafik f(x) = ax² + 2√2x + (a-1), a≠0
b = 2√2
a = a
c = a – 1
D = b² – 4ac, syarat memotong sumbu x di dua titik D
(2√2)² – 4a(a-1) > 0
8 – 4a² + 4a > 0
4a² – 4a – 8 < 0
a² – a – 2 < 0
(a – 2)(a + 1) < 0
a = 2 atau a = 1

Sehingga, -1 < a < 2
Jawaban : C

Soal No.23 (Matematika IPA SNMPTN 2007)

Parabola y = ax² – (a+2)x + 9/4 memotong sumbu x di dua titik berbeda (x₁, 0) dan (x₂, 0). Jika x₁+x₂  dan x₁ x₂ masing-masing merupakan suku pertama dan rasio suatu barisan geometri, dan jumlah suku pertama dan rasio tersebut adalah 45/4a maka ekstrem parabola tersebut berupa …

1. Minimum di titik x = 5/14
2. Maksimum di titik x = – 9/7
3. Minimum di titik x = 9/7
4. Maksimum di titik x = – 9/14
5. Minimum di titik x = 9/14

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.24 (UN 2010)

Grafik fungsi kuadrat f(x) = x² + bx + 4 menyinggung garis y = 3x + 4. Nilai b yang memenuhi adalah …

PEMBAHASAN :
Diketahui:
f(x) = x² + bx + 4
y = 3x + 4
Sedangkan f(x) = y
x² + bx + 4 = 3x + 4
x² + (b-3)x = 0
Maka:
b = b – 3
a = 1
c = 0
D = b² – 4ac syarat menyinggung adalah D = 0
b² – 4ac = 0
(b-3)² – 4.1.0 = 0
(b-3)² = 0
b = 3
Sehingga, nilai b = 3
Jawaban : D

Soal No.25 (Matematika Dasar UM UGM 2013)

Parabola y = -x² + 2ax + a-1 dan garis y = ax + a – 2  berpotongan di (x₁,  y₁) dan (x₂,  y₂)  Jika  x₁ + x₂ = 2 dan y₁ + y₂ =..

2. 1
3. 2
4. 3
5. 4

PEMBAHASAN :
Diketahui:
Parabola y = -x² + 2ax + a – 1
Garis y = ax + a – 2
Titik potong di (x₁, y₁) dan  (x₂, y₂)
x₁ + x₂ = 2
Ditanyakan: y₁+ y₂ ?
y = y, parabola berpotongan dengan garis
ax + a-2 = -x² + 2ax + a – 1
x² – ax – 1 = 0
x₁ + x₂ = 2  → a = 2
Untuk mencari nilai x dari persamaan ∶ x² – 2x – 1 = 0
(x – 2)(x + 1) = 0
x = 2 atau x = -1
Untuk  a = 2 diperoleh
y = ax + a – 2
y = 2x + 2 – 2
y = 2x
Sehingga :
untuk  x = 2 → y₁ = 4
untuk  x = -1 → y₂ = -2
Maka,  y₁+ y₂ = 4 + (-2) = 2
Jawaban : C

Soal No.26 (UN 2010)

Agar garis y = -2x + 3 menyinggung parabola y = x² + (m-1)x + 7 maka nilai m yang memenuhi adalah ….

1. -5 atau -3
2. -5 atau 3
3. -3 atau 5
4. -1 atau 17
5. 1 atau 17

PEMBAHASAN :
Diketahui:
garis y = -2x + 3
parabola y = x² + (m-1)x + 7
y = y
x² + (m-1)x + 7 = -2x + 3
x² + (m+1)x + 4 = 0
b = m + 1
a = 1
c = 4
D = b² – 4ac, syarat menyinggung D = 0
b² – 4ac = 0
(m+1)² – 4.1.4 = 0
m² + 2m + 1 – 16 = 0
m² + 2m – 15 = 0
(m+5)(m-3)=0
Maka nilai m yang memenuhi adalah
m = -5 atau m = 3
Jawaban : B

Soal No.27 (Matematika Dasar Simak UI 2009)

Diberikan fungsi f(x) = ax² + bx + c. jika grafik fungsi tersebut melalui titik (2,21) dan mempunyai garis singgung yang sejajar dengan sumbu x pada (-2,-11), maka nilai a + b + c adalah …

1. 4
2. 5
3. 6
4. 7
5. 8

PEMBAHASAN :
Diketahui: fungsi f(x) = ax² + bx + c , melalui titik (x, y) ® (2,21)
Persamaan 1:
f(x) = y =  ax² + bx + c
21 = a(2)² + b(2) + c
21 = 4a + 2b+c

Persamaan 2:
Sedangkan untuk garis yang sejajar sumbu x maka m = 0, melalui titik (x , y) ® (-2,-11)
m = y = 2ax + b
0 = -4a + b
b = 4a

Persamaan 3:
f(x) = ax² + bx + c melalui titik (x, y) ® (-2,-11)
-11 = a(-2)² + b(-2) + c
-11 = 4a – 2b + c

Kemudian substitusikan (2) ke (1) dan ke (3)
Persamaan 1 :       21 = 4a + 2b + c
Persamaan 2:           b = 4a
Persamaan 3:     -11 = 4a – 2b + c
4a + 2(4a) + c = 21 → 12a + c = 21 …… persamaan 4
4a – 2(4a) + c = -11 → -4a + c = -11 …… persamaan 5

Kurangkan persamaan 4 dan 5:
12a + c = 21
-4a + c = -11
16a = 32
a = 2
b = 4a
b = 4.2 = 8
12a + c = 21
12.2 + c = 21
c = – 3
Maka, a + b + c = 2 + 8 – 3 = 7
Jawaban : D

Soal No.28 (UN 2013)

Grafik fungsi f(x) = mx² + (2m-3)x + m + 3 berada di atas sumbu x. Batas – batas nilai m yang memenuhi adalah …

1. m > 0
2. m > 3/8
3. m < 0
4. 0 < m < 3/8
5. – 3/8  < m < 0

PEMBAHASAN :
Diketahui: Grafik fungsi f(x) = mx² + (2m-3)x + m + 3
b = 2m – 3
a = m
c = m + 3
D = b² – 4ac, syarat berada di atas sumbu x (definit positif) a > 0, D < 0
a > 0, m > 0
D < 0
b² – 4ac < 0
(2m – 3)² – 4.m.(m + 3) < 0
4m²– 12m + 9 – 4m²-12m < 0
-24m < -9
m >  3/8

Sehingga, m >  3/8
Jawaban : B

Soal No.29 (Matematika Dasar SNMPTN 2007)

Agar garis y = -10x + 4 menyinggung parabola y = px² + 2x – 2 maka konstanta p = …

1. -2
2. -3
3. -4
4. -5
5. -6

PEMBAHASAN :
Diketahui:
garis y = -10x + 4
parabola y = px² + 2x – 2
Ditanyakan: nilai p?
y = y
px² + 2x – 2 = -10x + 4
px² + 12x – 6 = 0 b = 12, a = p, c = – 6
D = b^{2 –} 4ac, syarat menyinggung adalah D = 0
b^{2 –} 4ac = 0
12² – 4.p.(– 6) = 0
144 – 4.p.(-6) = 0
144 + 24p = 0
p = -6
Jawaban : E

Soal No.30 (UN 2013)

Agar fungsi f(x) = (m + 3)x²  + 2mx + (m+1) definit positif, batas-batas nilai m yang memenuhi adalah ….

1. m > -3
2. m > -3/2
3. m < 3
4. m < -3/4
5. -3 < m < -3/4

PEMBAHASAN :
Diketahui: fungsi f(x) = (m + 3)x²  + 2mx + (m+1)
b = 2m
a = m + 3
c = m + 1
D = b² – 4ac, Syarat definit positif : a > 0, D < 0)

• D < 0
  b² – 4ac < 0
  (2m)² – 4.(m + 3).(m+1) < 0
  4m² – 4(m²+ 4m + 3) < 0
  4m² – 4m² – 16m – 12 < 0
  m < -3/4

Sehingga, m < -3/4
Jawaban : D

Soal No.31 (Matematika IPA SBMPTN 2009)

Diberikan fungsi f memenuhi persamaan 3f(-x) + f(x-3) = x + 3 untuk setiap bilangan real x. Nilai 8f(-3) adalah …

1. 24
2. 21
3. 20
4. 16
5. 15

PEMBAHASAN :
Diketahui: 3f(-x) + f(x-3) = x + 3, x = bilangan real
Ditanyakan: Nilai 8f(-3)?
3f(-x) + f(x – 3) = x + 3
Persamaan 1:
Untuk x = 0 → 3f(0) + f(-3) = 3

Persamaan 2:
Untuk x = 3 → 3f(-3) + f(0) = 6
Eliminasikan persamaan 1 dan 2:
3f(0) + f(-3) = 3 |x1| 3f(0) + f(-3) = 3
f(0) + 3f(-3) = 6 |x3| 3f(0) + 9f(-3) = 18
-8f(-3) = -15
8f(-3) = 15

Jawaban : E

Soal No.32 (UN 2013)

Nilai m yang menyebabkan fungsi kuadrat f(x) = (m+1)x² – 2mx + (m – 3) definit negatif adalah …

1. m < -3/2
2. m < 1
3. m > 3/2
4. m > 1
5. 1 < m < 3/2

PEMBAHASAN :
Diketahui: fungsi kuadrat f(x) = (m+1)x² – 2mx + (m – 3)
b = 2m
a = m + 1
c = m – 3
D = b² – 4ac, syarat definit negatif a < 0, D < 0

• a < 0, m + 1 < 0 ® m < -1
• D < 0
  b² – 4ac < 0(-2m)² – 4.(m + 1).(m – 3) < 04m² – 4 (m² – 2m – 3) < 0
  4m²– 4m² + 8m + 12 < 0
  8m < -12
  m < -3/2

Nilai m yang memenuhi m < – 3/2
Jawaban : A