Rangkuman, Contoh Soal Fungsi & Komposisi Berikut Pembahasannya

Ok kali ini kita akan membahas mengenai rangkuman materi dan contoh soal fungsi dan komposisi untuk kamu kelas 10 SMA. Kalau ingin mendalam memahami bab ini simak juga video pembelajaranya ada dua versi dari dua guru yang berbeda lho!. Ayo semangat belajar

Pengertian

Fungsi merupakan relasi dua himpunan A dan B yang memasangkan setiap anggota pada himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.

• himpunan A disebut domain (daerah asal),
• himpunan B disebut kodomain (daerah kawan)
• himpunan anggota B yangpasangan (himpunan C) disebut range (hasil) fungsi f.

Sifat-Sifat Fungsi

1. Fungsi injektif (satu-satu)
   Jika fungsi f : A → B, setiap b ∈ B hanya mempunyai satu kawan saja di A, contoh:
   
2. Fungsi surjektif (onto)
   Pada fungsi f : A → B, setiap b ∈ B mempunyai kawan di A.
   
3. Fungsi bijektif (korespondensi satu-satu)
   Suatu fungsi yang bersifat injektif sekaligus surjektif
   

Aljabar Fungsi

1. Penjumlahan f dan g
   (f + g) (x) = f(x) + g(x).
   Contoh Soal:
   Diketahui f(x) = x + 2 dan g(x) = x² – 4. Tentukan (f + g)(x).
   Penyelesaian
   (f + g)(x) = f(x) + gx)
   (f + g)(x)= x + 2 + x² – 4
   (f + g)(x)= x² + x – 2
2. Pengurangan f dan g
   (f – g)(x) = f(x) – g(x).
   Contoh soal
   Diketahui f(x) = x² – 3x dan g(x) = 2x + 1. Tentukan (f – g)(x).
   Penyelesaian
   (f – g)(x) = f(x) – g(x)
   (f – g)(x)= x² – 3x – (2x + 1)
   (f – g)(x)= x² – 3x – 2x – 1
   (f – g)(x)= x² – 5x – 1
3. Perkalian f dan g
   (f . g)(x) = f(x) . g(x).
   Contoh soal
   Diketahui f(x) = x – 5 dan g(x) = x² + x. Tentukan (f × g)(x).
   Penyelesaian
   (f × g)(x) = f(x) . g(x)
   (f × g)(x)= (x – 5)(x² + x)
   (f × g)(x)= x³ + x² – 5x² – 5x
   (f × g)(x)= x³ – 4x² – 5x
4. Pembagian f dan g
   
   Contoh soal
   Diketahui f(x) = x2 – 4 dan g(x) = x + 2. Tentukan
   Penyelesaian
   

Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi dapat ditulis sebagai berikut:

• (f ◦ g)(x) = f (g (x))→ komposisi g (fungsi f bundaran g atau fungsi komposisi dengan g dikerjakan lebih dahulu daripada f)
  
• (g ◦ f)(x)= g (f (x))→ komposisi f(fungsi g bundaran f atau fungsi komposisi dengan f dikerjakan lebih dahulu daripada g)
  

Sifat Fungsi Komposisi

1. Tidak berlaku sifat komutatif, (f ◦ g)(x) ≠ (g ◦ f)(x).
2. Berlaku sifat asosiatif, (f ◦(g ◦ h))(x) = ((f ◦ g)◦ h)(x).
3. Terdapat unsur identitas (l)(x), (f ◦ l)(x) = (l ◦ f)(x) = f(x).

Contoh soal

Diketahui f(x) = 2x – 1, g(x) = x² + 2.

1. Tentukan (g ◦ f)(x).
2. Tentukan (f ◦ g)(x).
3. Apakah berlaku sifat komutatif: g ◦ f = f ◦ g?

Penyelesaian

1. (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(2x – 1) = (2x – 1)² + 2 = 4x² – 4x + 1 + 2 = 4x² – 4x + 3
2. (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x² + 2) = 2(x² + 2) – 1 = 4x² + 4 – 1 = 4x² + 3
3. Tidak berlaku sifat komutatif karena g ◦ f ¹ f ◦ g.

Fungsi Invers

1. f^-1 (x) adalah invers dari fungsi f(x).
   

2. Menentukan fungsi invers : mengganti f (x)= y = …” menjadi “ f ^-1 (y)= x = …”
3. hubungan sifat fungsi invers dengan fungsi komposisi:
   1. (f ◦ f^-1)(x)= (f ^-1 ◦ f)(x)= l (x)
   2. (f ◦ g)^-1 (x)= (g^-1◦ f^-1)(x)
   3. (f ◦ g)(x)= h (x)→ f (x)= (h ◦ g ^-1)(x)

Versi 1

Versi 2

Soal No.1 (UTBK 2019)

Diketahui grafik fungsi f’ dan g’ dengan beberapa nilai fungsi f dan g sebagai berikut

Jika h(x) = (fog)(x), maka nilai h'(2) adalah…

PEMBAHASAN :
h(x) = (fog)(x) = f(g(x))
h'(x) = g'(x).f'(g(x))
h'(2) = g'(2).f'(g(2))
Dengan melihat tabel fungsi f(x), g(x) serta kurva f'(x), g'(x), didapat:
g(2) = 3, g'(2) = 3, f'(3) = -3
Maka:
h'(2) = 3. f'(3) = 3. (-3) = -9
Jawaban B

Soal No.2 (UN 2012)

Diketahui fungsi g(x) = x + 1 dan f(x) = x² + x – 1. Komposisi fungsi (f ◦ g)(x)= …

1. x² + 3x + 3
2. x² + 3x + 2
3. x² – 3x + 3
4. x² + 3x – 1
5. x² + 3x + 1

PEMBAHASAN :
Menentukan (f ◦ g)(x)
(f ◦ g)(x)= f (g (x)) = f (x + 1) = (x + 1)² + (x + 1)- 1
(f ◦ g)(x)= x² + 2x + 1 + x = x² + 3x + 1
Jawaban : E

Soal No.3 (SBMPTN 2014 Dasar)

Diketahui f(x)= , q≠0 jika f^-1 menyatakan invers dari f dan f ^-1(q)= -1 maka f ^-1 (2q)=…

1. -3
2. -2
3. 
4. 
5. 3

PEMBAHASAN :

Jawaban : C

Soal No.4 (UN 2007)

Diketahui f : R → R, g : R → R dirumuskan oleh f(x) = x² – 4 dan g(x) = 2x – 6. Jika (f ◦ g)(x)= -4 , nilai x = …

1. -6
2. -3
3. 3
4. 3 atau -3
5. 6 atau -6

PEMBAHASAN :
Menentukan nilai x
(f ◦ g)(x) = -4
f(g (x)) = -4
f(2x – 6) = -4
(2x – 6)² – 4 = -4
2x – 6 = 0
x = 3
Jawaban : C

Soal No.5 (SIMAK UI 2013 DASAR)

Diketahui f ^-1 (4x-5) = 3x-1 dan (f ^-1 ◦ f)(5)= p² +2p – 10 maka rata-rata dari nilai p adalah…

1. -4
2. -2
3. -1
4. 1
5. 4

PEMBAHASAN :
f (x) = y ↔ f ^-1 (y) = x
f (5) = y
f ^—1 (4x-5) = 3x-1
sehingga 3x-1 = 5
x = 2 dan y = 4x-5 = 3
x = 2
Menentukan nilai p
(f ^{– -1} ◦ f)(5) = p² + 2p-10
f ^-1 (f(5)) = p² + 2p – 10
f^—1(3) = p² + 2p – 10
3(2)-1 = p² + 2p – 10
p² + 2p – 1 = 0
(p + 5)(p – 3) = 0
p = -5 dan p = 3
Jadi, rata-rata nilai p adalah = -1
Jawaban : C

Soal No.6 (UN 2003)

Ditentukan g (f(x)) = f(g(x)). Jika f(x)= 2x + p dan g(x) = 3x + 120 maka nilai p = …

1. 30
2. 60
3. 90
4. 120
5. 150

PEMBAHASAN :
Menentukan nilai p
g (f (x)) = f (g (x))
g (2x + p) = f (3x + 120)
3 (2x + p) + 120 = 2 (3x + 120) + p
6x + 3p + 120 = 6x + 240 + p
2p = 120
p = 60
Jawaban : B

Soal No.7 (SPMB 2007 Dasar)

Jika f(x) = x² + 2 dan g(x) = maka daerah asal fungsi (f ◦ g) (x) adalah…

1. -∞ < x < ∞
2. 1 ≤ x ≤ 2
3. x ≥ 0
4. x ≥ 1
5. x ≥ 2

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.8 (UN 2013)

Diketahui fungsi f(x) = x – 4 dan g(x) = x² – 3x + 7. Fungsi komposisi (g ◦ f)(x) = …

1. x² – 3x + 3
2. x² – 3x + 11
3. x² – 11x + 15
4. x² – 11x + 27
5. x² – 11x + 35

PEMBAHASAN :
Menentukan (g ◦ f)(x)
(g ◦ f)(x)= g (f (x)) = g (x – 4) = (x – 4)² – 3(x – 4) + 7 = x² – 8x + 16 – 3x + 12 + 7
(g ◦ f)(x) = x² – 11x + 35
Jawaban : E

Soal No.9 (SIMAK UI 2012 DASAR)

Misalkan f : R→ R dan g : R→R, f(x) = x + 2 dan (g ◦ f)(x) = 2x² + 4x – 6, Misalkan juga x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari g(x) = 0 maka x₁ + 2x₂ =…

PEMBAHASAN :
Menentukan g(x)
(g ◦ f)(x) = 2x² + 4x – 6
g(f(x)) = 2x² + 4x – 6
g(x+2) = 2x² + 4x -6
g(x) = 2(x – 2)² + 4(x – 2) – 6 = 2x² – 8x + 8 + 4x – 8 – 6 = 2x² – 4x – 6
menentukan x₁ + 2x₂
g(x) = 0
2x² – 4x – 6 = 0
x² – 2x – 3 = 0
(x-3)(x+1) = 0
x₁=3 →x₂ = -1, jadi 3
x₁ = 2x₂ = 3+2 (-1) = 1
atau
x₁ = -1 → x₂ = 3, jadi
x₁ + 2x₂ = (-1) + 2(3) = 5
Jawaban : E

Soal No.10 (UN 2004)

Suatu pemetaan f:R→R dengan (g ◦ f)(x) = 2x² + 4 x + 5 dan g(x) = 2x + 3. Maka f(x)=…

1. x² + 2x + 1
2. x² + 2x + 2
3. 2x² + x + 2
4. 2x² + 4x + 2
5. 2x² + 4x + 1

PEMBAHASAN :
Menentukan f(x)
(g ◦ f)(x) = 2x² + 4x + 5
g(f(x)) = 2x² + 4x + 5
2(f(x)) + 3 = 2x² + 4x + 5
f(x) = x² + 2x + 1
Jawaban : A

Soal No.11 (SNMPTN 2011 Dasar)

Diketahui fungsi f(x) = 3x – 5 dan g(x) = , x ≠ . Nilai komposisi fungsi (g ◦ f)(2)=…

1. 
2. 
4. 1
5. 8

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.12 (SNMPTN 2011 IPA)

Jika f(x – 1) = x + 2 dan g(x) = maka nilai (g^-1 ◦ f)(1) adalah..

1. -6
2. -2
3. 
4. 
5. 4

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.13 (UN 2008)

Invers dari fungsi f(x)= dengan x ≠ adalah f^-1(x)=…

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.14 (SNMPTN 2010 Dasar)

Jika g(x – 2) = 2x – 3 dan (f ◦ g)(x – 2) = 4x² – 8x + 3, maka f(-3) =…

1. -3
3. 3
4. 12
5. 15

PEMBAHASAN :
g(x – 2) = 2x – 3
(f ◦ g)(x – 2) = 4x² – 8x + 3
f(g(x – 2)) = 4x² – 8x + 3
f(2x – 3) = 4x² – 8x + 3
Menentukan f(-3)
Jika -3 = 2x – 3 maka x = 0
Sehingga:
f(-3) = 4(0)² – 8(0) + 3 = 3
Jawaban : A

Soal No.15 (UN 2010)

Jika f^-1(x) merupakan invers dari fungsi f(x) = , x≠3 maka nilai f ^-1(4) adalah…

2. 4
3. 6
4. 8
5. 10

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.16 (SIMAK UI 2009 DASAR)

f^-1 dan g^-1 berturut-turut menyataan invers dari fungsi f dan g. Jika (f^-1 ◦ g ^-1)(x) = 2x – 4 dan g(x) = , x ≠ , maka nilai f(2) sama dengan …

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.17 (UN 2005)

Diketahui fungsi f: R→R dan g : R → R dirumuskan dengan f(x)=2x-1 dan g(x) = , x≠2. Fungsi invers dari (f ◦ g)(x) adalah…

1. (f ◦ g)^-1 = , x≠-3
2. (f ◦ g)^-1 = , x≠-3
3. (f ◦ g)^-1 = , x≠3
4. (f ◦ g)^-1 = , x≠-1
5. (f ◦ g)^-1 = , x≠1

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.18 (UM UGM 2010 DASAR)

jika f (x) = dan (f ◦ g)(x)= maka g (x+2) = …

1. 
2. 
3. x – 2
4. x – 3
5. x + 5

PEMBAHASAN :

Jawaban : E

Soal No.19 (UN 2014)

Diketahui f(x) = 4x + 2 dan g(x) = , x≠-1. Invers (g ◦ f)(x)adalah…

1. (g◦f)^-1 = , x ≠
2. (g◦f)^-1 = ,x ≠
3. (g◦f)^-1 = ,x ≠ -1
4. (g◦f)^-1 = ,x ≠ 1
5. (g◦f)^-1 = ,x ≠ -1

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.20 (SNMPTN 2011 Dasar)

Jika f(x)= maka (f◦f◦f◦f◦f)(x)=..

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.21 (UN 2005)

diketahui f : R →R, g : R → R, g(x) = 2x + 3 dan (f ◦ g)(x) = 12x² + 32x + 26, Rumus f(x) =…

1. 3x² – 2x + 5
2. 3x² – 2x + 37
3. 3x² – 2x + 50
4. 3x² + 2x – 5
5. 3x² + 2x – 50

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.22 (UM UGM 2009)

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.23 (UN 2000)

Diketahui f(x) = , x≠ , jika f ^-1 adalah invers fungsi f maka f ^-1 (x-2) =…

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.24 (SNMPTN 2013 Dasar)

Jika f^-1 maka nilai a sehingga f(a) = -4 adalah…

1. 2
2. 1
4. -1
5. -2

PEMBAHASAN :

Jawaban : B

Soal No.25 (UN 2000)

Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1 dan (f ◦ g) (x+1)= -2x² – 4x – 1. Nilai g(-2)=…

1. -5
2. -4
3. -1
4. 1
5. 5

PEMBAHASAN :
Menentukan f(x)
f(x) = 2x + 1 → f(x + 1) = 2(x + 1) + 1 = 2x + 3
Menentukan g(-2)
(f ◦ g)(x + 1)= -2x² – 4x – 1
f(g(x + 1)) = -2x² – 4x – 1
2(g(x + 1)) + 3 = -2x² – 4x – 1
g(x + 1) = -x² – 2x – 2
Misal, x + 1 = -2 → x = -3
g(-2) = -(-3)² – 2(-3) -2 = -5
Jawaban : A

Soal No.26 (SIMAK UI 2011 Dasar)

Diketahui f(x) = dan g(x) = 3x. Jumlah semua nilai x yang mungkin sehingga f (g(x)) = g (f(x)) adalah…

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 2

PEMBAHASAN :

Jawaban : D

Soal No.27 (EBTANAS 1993)

Fungsi f : R →R, ditentukan oleh f(x + 2) = , dan f ^-1 invers fungsi f, maka f ^-1(x)=…

PEMBAHASAN :

Jawaban : A

Soal No.28 (EBTANAS 1991)

Fungsi f dan g ditentukan oleh f(x) = 2x-4 dan g(x) = ½ x + 3. Daerah asal f : {x| 2 ≤ x ≤ 6, x ∈ R) dan g :R→R. Daerah hasil dari (g ◦ f)(x) adalah…

PEMBAHASAN :
Menentukan (g ◦ f)(x)
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(2x-4) = ½ (2x-4)+3 = x + 1
Misal, y = (g ◦ f)(x)
Diketahui daerah asal f : {x| 2 ≤ x ≤ 6, x € R)
2 ≤ x ≤ 6
(2+1) ≤ (x+1) ≤ (6+1)
3 ≤ (g ◦ f)(x) ≤ 7
3 ≤ y ≤ 7, y ∈ R
Jawaban : C

Soal No.29 

Jika diketahui fungsi :

Tentukan nilai dari f(-1) – f(1) + f(3)!

PEMBAHASAN :
Menentukan f(-1) dari y = f(x) = x + 2, untuk -3 ≤ x ≤ 0 
f(-1) = (-1) + 2 = 1
Menentukan f(1) dan f(3) dari y = f(x) = x² + 2, untuk 0 ≤ x ≤ 3
f(1) = (1)² + 2 = 3
f(3) = (3)² + 2 = 11
Maka:
f(-1) – f(1) + f(3) = 1 – 3 + 11 = 9

Soal No.30 

Jika diketahui fungsi f(x) = x² – 2x + 2. Jika f(n) = 10 tentukan nilai n yang memenuhi

PEMBAHASAN :
f(n) = 10 → n² – 2n + 2 = 10 
n² – 2n – 8 = 0
(n – 4)(n + 2) 
Maka nilai n yang memenuhi adalah 4 dan -2

Soal No.31 

Jika diketahui fungsi f(x) = 5^x. Untuk setiap x berlaku f(x + 2) – f (x) = ….

PEMBAHASAN :
Diketahui: 
f(x) = 5^x
Maka: 
f(x -1) + f (x) = 5^x+2 – 5^x
.                       = 5^x . 5² – 5^x 
.                       = 25. 5^x – 5^x
.                       = 24.5^x
.                       = 24.f(x)
Jawaban E

Soal No.32 

Tentukan domain/daerah asal dari fungsi berikut

PEMBAHASAN :

Demikian pembahasan kita mengenai rangkuman materi dan contoh soal fungsi dan komposisi. Kalau bermanfaat buat kamu bantu kita juga yah untuk share dan beritahu teman kamu untuk berkunjung ke artikel ini. Terima kasih