Pembahasan Matematika No. 1 – 5 TKD Saintek SBMPTN 2016 Kode Naskah 225

• geometri, 
• segitiga trigonometri, 
• persamaan trigonometri, 
• transformasi geometri, dan 
• dimensi tiga.

Soal No. 1 tentang Geometri

Diketahui persegi dengan panjang sisi 12 dan setengah lingkaran dengan diameter pada alas seperti pada gambar.

Garis CE menyinggung lingkaran di titik F. Panjang CE = ….

A.   9√2
B.   13
C.   15
D.   9√3
E.   16

Pembahasan

Konsep dasar untuk memahami soal ini adalah:

Garis singgung lingkaran selalu tegak lurus dengan jari-jari lingkaran.

Perhatikan gambar di bawah ini!

Pandang layang-layang OBCF!

CB dan CF adalah garis singgung lingkaran. Karena keduanya berangkat dari titik yang sama maka panjang keduanya juga sama.

CF = CB = 12

Pandang layang-layang OAEF!

EA dan EF adalah garis singgung lingkaran. Anggap saja panjang EF = x, maka:

EA = EF = x

Sehingga panjang CE adalah:

CE = CF + EF
      = 12 + x

Nah, kita tinggal menentukan nilai x.

Sekarang pandang segitiga CDE! Segitiga CDE adalah segitiga siku-siku sehingga berlaku teorema Pythagoras.

                  CE² = CD² + DE²
          (12 + x)² = 12² + (12 − x)²
144 + 24x + x² = 144 + 144 − 24x + x²
                  48x = 144
                      x = 3

Dengan demikian,

CE = 12 + x
      = 12 + 3
      = 15

Jadi, panjang CE adalah 15 (C).

Soal No. 2 tentang Segitiga Trigonometri

Pembahasan

Pertama yang harus dipahami adalah maksud dari CD = 2BD.

Variabel a di atas hanya permisalan. Anda bisa menggunakan variabel x, y, atau yang lain.

Perhatikan ilustrasi untuk soal di atas!

Padang segitiga ABD!

Dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan √3, diperoleh:

AB = a√3

Sekarang padang segitiga ABC!

Dengan demikian ∠CAD adalah:

∠CAD = ∠BAC − ∠DAB
            = 60° − 30°
            = 30°

Jadi, sudut CAD adalah 30° (C).

Soal No. 3 tentang Persamaan Trigonometri

Pembahasan

Mungkin yang agak asing adalah fungsi csc⁡ t. Apa itu csc⁡ t?

csc⁡ t = cosec ⁡t
        = 1/(sin ⁡t)

Sehingga persamaan trigonometri di atas dapat diubah menunjukkan:

2 sin² ⁡t − 2 sin ⁡t = 1 − csc ⁡t
2 sin² ⁡t − 2 sin ⁡t = 1 − 1/(sin ⁡t)

Kalikan masing-masing suku dengan sin ⁡t.

2 sin³ ⁡t − 2 sin² ⁡t = sin ⁡t − 1
2 sin³ ⁡t − 2 sin² ⁡t − sin ⁡t + 1 = 0

Ternyata membentuk suku banyak berderajat tiga. Sebaiknya kita selesaikan dengan cara Horner.

Berdasarkan metode di atas diperoleh:

sin ⁡t = 1
      t = 90°

Hasil bagi dari cara Horner tersebut (warna biru) adalah:
2     0    −1             yang berarti:
2 sin²⁡ t − 1 = 0
       2 sin²⁡ t = 1
          sin²⁡ t = ½
            sin⁡ t = ±½√2

Sampai di sini sebenarnya jawaban sudah bisa ditebak.

Coba perhatikan! Untuk interval 0 < t < 2π, sin⁡ t = 1 hanya ada 1 nilai, sin⁡ t = ½√2 dan sin⁡ t = −½√2 masing-masing mempunyai 2 nilai. Sehingga total nilai t adalah 5.

Baiklah, agar pembahasan lebih panjang, kita selesaikan satu per satu.

sin⁡ t = ½√2     (ada di kuadran I dan II)
    t₁ = 45°
    t₂ = (180 − 45)°
        = 135°

sin⁡ t = −½√2    (ada di kuadran III dan IV)
    t₁ = (180 + 45)°
        = 225°
    t₂ = (360 − 45)°
        = 315°

Dengan demikian himpunan penyelesaian persamaan trigonometri tersebut adalah:

{45°, 90°, 135°, 225°, 315°}

Jadi, banyaknya anggota himpunan penyelesaian dari persamaan di atas adalah 5 (D).

Soal No. 4 tentang Transformasi Geometri

Jika pencerminan titik P(s, t) terhadap garis x = a yang dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y = b menghasilkan translasi    maka a + b = ….

A.   s + t + 20
B.   2s + t + 10
C.   s + t + 10
D.   s + 2t + 10
E.   s + t + 5

Pembahasan

Pencerminan titik P(x, y) terhadap garis x = h dan y = k masing dirumuskan sebagai:

Berpedoman pada rumus di atas, pencerminan titik P(s, t) terhadap garis x = a adalah:

Hasil dari pencerminan tersebut dicerminkan lagi terhadap garis y = b. Diperoleh:

Hasil pencerminan yang terakhir ini sama dengan translasi terhadap titik P(s, t).

Sehingga diperoleh hubungan:

2a − s = s + 10
      2a = 2s + 10
        a = s + 5

2b − t = t + 10
      2b = 2t + 10
        b = t + 5

Dengan demikian,

a + b = (s + 5) + (t + 5)
          = s + t + 10

Jadi, nilai dari a + b adalah s + t + 10 (C).

Soal No. 5 tentang Dimensi Tiga

Pembahasan

Gambaran kubus yang dimaksud adalah sebagai berikut:

Anggap saja rusuk kubus tersebut adalah 3a (untuk mempermudah penghitungan) sehingga:

AM = CN = PH = a
MD = ND = DP = 2a

Segitiga MNP adalah segitiga sama sisi dengan panjang rusuk (pandang segitiga MDP):

MP = √(MD² + DP²)
       = √[(2a)² + (2a)²]
       = 2a√2

PQ adalah tinggi segitiga sama sisi MNP. Tinggi segitiga sama sisi dirumuskan:

    t = ½√3 × rusuk segitiga
PQ = ½√3 × 2a√2
      = a√6

BD adalah diagonal alas kubus yang dirumuskan:

BD = rusuk kubus × √2
       = 3a√2

Sedangkan BQ adalah 2/3 diagonal.

BQ = 2/3 × 3a√2
       = 2a√2

Sekarang tinggal menentukan panjang BP. Pandang segitiga BDP!

BP = √(BD² + DP² )
      = √[(3a√2)² + (2a)²]
      = √(18a² + 4a² )
      = a√22

Nah, semua rusuk segitiga BPQ sudah diketahui yang mana sudut α ada di dalamnya.

Kita gunakan aturan kosinus untuk mendapatkan nilai dari cos ⁡α.

Variabel a² bisa dicoret dan √132 = 2√33, sehingga diperoleh:

            

Jadi, nilai cos⁡ α adalah 5/33 √33 (B).

Simak Pembahasan Soal TKD Saintek SBMPTN 2016 selengkapnya.

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Terimakasih