pembahasan selanjutnya adalah
 |
| Fungsi Eksponen |
Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) SMA-IPA bidang studi Matematika dengan materi pembahasan Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma.
Soal Pertidaksamaan Eksponen UN 2014
A. {x│x < −1, x ∈ R}
B. {x│x < −2, x ∈ R}
C. {x│x > 3, x ∈ R}
D. {x│x > 4, x ∈ R}
E. {x│x > 8, x ∈ R}
Pembahasan
Misalkan p = 2x sehingga 22x = p2.
22x − 7 ∙ 2x > 8
p2 − 7p − 8 > 0
(p + 1)(p − 8) > 0
Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka penyelesaiannya berada di sebelah kiri −1 atau di sebelah kanan 8.
p < −1 atau p > 8
2x < −1 atau 2x > 8
Penyelesaian 2x < −1 tidak memenuhi karena hasil perpangkatan tidak mungkin negatif. Sehingga kita tinggal menyelesaikan 2x > 8.
2x > 8
2x > 23
x > 3
Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan eksponen tersebut adalah opsi (C).
Soal Pertidaksamaan Eksponen UN 2012
A. x > −1 atau x > 2
B. x < −1 atau x < 2
C. x < 1 atau x > 2
D. x < −1 atau x > 2
E. x > −1 atau x < −2
Pembahasan
Langkah pertama, kita pecah bilangan berpangkat 32x+1 menjadi 32x ∙ 31.
32x+1 + 9 − 28 ∙ 3x > 0
32x ∙ 31 + 9 − 28 ∙ 3x > 0
Misalkan p = 3x kemudian kita urutkan sehingga menjadi:
3p2 − 28p + 9 > 0
(3p − 1)(p − 9) > 0
Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka penyelesaiannya berada di sebelah kiri 1/3 atau di sebelah kanan 9.
p < 1/3 atau p > 9
3x < 3−1 atau 3x > 32
x < −1 atau x > 2
Jadi, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan eksponen di atas adalah opsi (D).
Soal Pertidaksamaan Eksponen UN 2017
A. {x│x > 9, x ∈ R}
B. {x│x < −3, x ∈ R}
C. {x│x > 4, x ∈ R}
D. {x│x < −6, x ∈ R}
E. {x│x > 2, x ∈ R}
Pembahasan
Langkah pertama kita pindah ruas sehingga ruas kanan menjadi nol
9x − 3x+1 − 54 > 0
Selanjutnya pangkat dari 3 kita pecah dengan rumus am+n = am ∙ an.
9x − 3x . 31 − 54 > 0
Misalkan p = 3x sehingga 9x = p2.
p2 − 3p − 54 > 0
(p + 6)(p − 9) > 0
Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka penyelesaiannya berada di sebelah kiri −6 atau di sebelah kanan 9.
p < −6 atau p > 9
3x < −6 atau 3x > 9
Penyelesaian 3x < −6 tidak memenuhi karena hasil perpangkatan tidak mungkin negatif. Sekarang kita lanjutkan untuk 3x > 9.
3x > 9
3x > 32
x > 2
Jadi, himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan eksponen di atas adalah opsi (E).
Soal Pertidaksamaan Logaritma UN 2013
2log(x + 2) + 2log(x − 2) ≤ 2log 5 adalah ….
A. {x│x ≥ −2}
B. {x│x ≥ 2}
C. {x│x ≥ 3}
D. {x│2< x ≤ 3}
E. {x│−2 < x ≤ 2}
Pembahasan
Langkah pertama dalam menyelesaikan soal pertidaksamaan logaritma adalah menentukan syaratnya. Bilangan atau fungsi yang di-log harus bernilai positif.
x + 2 > 0
x > −2 … (1)
x − 2 > 0
x > 2 … (2)
Berdasarkan syarat di atas, opsi A, B, dan E sudah pasti salah.
Mari kita selesaikan soal di atas. Pertama, kugunakan rumus penjumlahan logaritma log a + log b = log ab.
2log(x + 2) + 2log(x − 2) ≤ 2log 5
2log(x + 2)(x − 2) ≤ 2log 5
Karena bilangan pokok logaritma ruas kiri dan kanan sama, kita dapatkan pertidaksamaan:
(x + 2)(x − 2) ≤ 5
x2 − 4 ≤ 5
x2 − 9 ≤ 0
(x + 3)(x − 3) ≤ 0
Karena tanda pertidaksamaannya ‘≤’ maka penyelesaiannya berada di antara −3 dan 3.
−3 ≤ x ≤ 3 … (3)
Dari ketiga pertidaksamaan yang kita peroleh, kita buat garis bilangan.
Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan logaritma tersebut adalah {x│2x ≤ 3} (D).
Soal Pertidaksamaan Logaritma UN 2014
3log x ∙ 1−2xlog 9 > 2 − 1−2xlog 9 adalah ….
A. 0 < x < 1/5
B. 0 < x < 1/2
C. 0 < x < 2/5
D. 1/5 < x < 1/2
E. 2/5 < x < 1/2
Pembahasan
Sebelum menyelesaikan soal pertidaksamaan logaritma, sebaiknya menentukan syaratnya terlebih dahulu.
Bilangan atau fungsi yang di-log harus positif.
x > 0 … (1)
Bilangan pokok logaritma harus positif tetapi tidak sama dengan 1.
1 − 2x > 0
−2x > −1
2x < 1
x < 1/2 … (2)
1 − 2x ≠ 1
−2x ≠ 0
x ≠ 0 … (3)
Sekarang kita selesaikan soalnya. Yang mengandung logaritma kita pindah ke ruas kiri.
3log x ∙ 1−2xlog 9 > 2 − 1−2xlog 9
3log x ∙ 1−2xlog 9 + 1−2xlog 9 > 2
Karena kedua suku di ruas kiri mengandung 1−2xlog 9, kita jadikan satu suku.
1−2xlog 9 (3log x + 1) > 2
Selanjutnya kita ubah 9 menjadi 32 kemudian kita gunakan rumus log an = n log a. Pada saat yang sama kita ubah angka 1 menjadi 3log 3 kemudian kita gunakan rumus penjumlahan logaritma.
1−2xlog 32 (3log x + 3log 3) > 2
2 ∙ 1−2xlog 3 (3log 3x) > 2
1−2xlog 3 . 3log 3x > 1
Kita manfaatkan rumus alog b ∙ blog c = alog c sehingga menjadi:
1−2xlog 3x > 1
Angka 1 kita ubah menjadi 1−2xlog (1 − 2x).
1−2xlog 3x > 1−2xlog (1 − 2x)
Nah, karena bilangan pokok ruas kiri dan kanan sudah sama, maka diperoleh pertidaksamaan:
3x > 1 − 2x
5x > 1
x > 1/5 … (4)
Dari keempat pertidaksamaan yang kita peroleh, kita buat garis bilangan.
Jadi, penyelesaian pertidaksamaan logaritma tersebut adalah 1/5 x
Pembahasan soal yang lain tentang Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma bisa disimak di:
Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 19
Pembahasan Matematika IPA UN 2014 No. 18 dan 19
Pembahasan Matematika IPA UN 2015 No. 20
Pembahasan Matematika IPA UN 2016 No. 4
Pembahasan Matematika IPA UN 2017 No. 3
Simak juga:
Pembahasan Matematika IPA UN: Perpangkatan (Eksponen)
Pembahasan Matematika IPA UN: Logaritma
Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini.
Terimakasih
Semoga Bermanfaat