Pembahasan Matematika IPA UN: Luas Daerah [Aplikasi Integral]

Posted on

pembahasan selanjutnya adalah

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) bidang studi Matematika SMA-IPA dengan materi pembahasan Luas Daerah (aplikasi integral), meliputi daerah yang dibatasi oleh kurva dan garis serta kurva dan sumbu x.

Soal tentang Luas Daerah UN 2014

Luas daerah arsiran pada gambar dapat dinyatakan dengan rumus ….
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x^2-2x+1 dan garis y=7-x, UN 2014

A.   2 [(7 − x) − (x2 − 2x + 1)] dx
B.   3 [(7 − x) − (x2 − 2x + 1)] dx
C.   2 [(x2 − 2x + 1) − (7 − x)] dx
D.   3 [(x2 − 2x + 1) − (7 − x)] dx
E.   1 (x2 − 2x + 1) dx + 13 (7 − x) dx



Pembahasan

Secara keseluruhan, daerah yang diarsir pada gambar di atas dibatasi oleh:

sumbu y : x = 0
garis       : y1 = 7 − x
kurva      : y2 = x2 − 2x + 1

Adapun batas x, sebelah kiri dibatasi oleh sumbu y atau x = 0 dan sebelah kanan dibatasi oleh titik potong antara garis dan kurva, yaitu x = 3. Batas x ini akan menjadi batas integrasi.

x1 = 0 dan x2 = 3

Sedangkan batas y, sisi atas dibatasi oleh garis y1 dan sisi bawah dibatasi oleh kurva y2. Batas y ini digunakan untuk menentukan fungsi yang akan diintegral, yaitu fungsi atas dikurangi fungsi bawah.

y1y2

Dengan demikian, luas daerah yang diarsir dirumuskan:

L = x1x2 (y1y2) dx
   = 3 [(7 − x) − (x2 − 2x + 1)] dx

Jadi, luas daerah arsiran pada gambar dapat dinyatakan dengan rumus pada opsi (B).

Soal tentang Luas Daerah UN 2013

Luas daerah yang diarsir pada gambar dapat dinyatakan dengan rumus ….
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x^2 dan garis y=x+2, UN 2013

A.   L = −12 (x + 2 + x2) dx
B.   L = −12 (x − 2 − x2) dx
C.   L = −12 (x + 2 − x2) dx
D.   L = −21 (−x + 2 + x2) dx
E.   L = −21 (−x + 2 + x2) dx

Pembahasan

Pada gambar di atas, batas integrasinya merupakan titik potong antara kurva y1 = x2 dan garis y2 = x + 2. Titik potong kurva dan garis tersebut dapat dicari dengan cara menyamakan kedua fungsi tersebut.

Artkel Terkait  Pembahasan Biologi No. 56 - 60 TKD Saintek SBMPTN 2014 Kode Naskah 512

                 y1 = y2
                 x2 = x + 2
     x2x − 2 = 0
(x + 1)(x − 2) = 0
x1 = −1 dan x2 = 2

Sisi atas daerah yang diarsir dibatasi oleh garis y2 = x + 2 dan sisi bawah dibatasi oleh kurva y1 = x2. Sehingga fungsi yang akan diintegral adalah:

y2y1

Dengan demikian, luas daerah yang diarsir dirumuskan:

L = x1x2 (y2y1) dx
   = −12 [(x + 2) − x2 ] dx
   = −12 (x + 2 − x2) dx

Jadi, luas daerah yang diarsir pada gambar tersebut dapat dinyatakan dengan rumus pada opsi (C).

Soal tentang Luas Daerah UN 2011

Luas daerah yang dibatasi kurva y = 4 − x2, y = −x + 2, dan 0 ≤ x ≤ 2 adalah ….

A.   8/3 satuan luas
B.   10/3 satuan luas
C.   14/3 satuan luas
D.   16/3 satuan luas
E.   26/3 satuan luas



Pembahasan

Luas daerah tersebut berada pada interval 0 ≤ x ≤ 2. Artinya, daerah tersebut dibatasi x1 = 0 dan x2 = 2.

Sekarang perhatikan kurva y1 = 4 − x2. Kurva tersebut terbuka ke bawah (karena koefisien x2-nya negatif). Karena terbuka ke bawah maka posisinya pasti ada di atas.

Perhatikan gambar berikut!

Luas daerah yang dibatasi kurva y=4−x^2, y=−x+2, dan 0≤x≤2, UN 2011

Pada daerah arsiran, y1 berada di atas y2 sehingga:

y1y2 = 4 − x2 − (−x + 2)
            = 4 − x2 + x − 2
            = −x2 + x + 2

Dengan demikian, luas daerah yang diarsir adalah:

Integral luas daerah antara kurva parabola terbuka ke bawah dan garis

Sekarang kita masukkan batas-batasnya. Batas x = 0 tidak perlu dimasukkan karena pasti akan menghasilkan nol.

= −1/3∙23 + 1/2∙23 + 2∙2
= −8/3 + 2 + 4
= −8/3 + 6
= −8/3 + 18/3
= 10/3

Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah 10/3 satuan luas (B).

Soal tentang Luas Daerah UN 2012

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 3x + 4 dan y = 1 − x adalah ….

A.   2/3 satuan luas
B.   4/3 satuan luas
C.   7/4 satuan luas
D.   8/3 satuan luas
E.   15/3 satuan luas

Pembahasan

Batas integrasi daerah tersebut adalah titik potong antara kurva y1 = x2 + 3x + 4 dan garis y2 = 1 − x.

Artkel Terkait  LISTRIK STATIS SMA ( soal dan pembahasan lengkap)

Mari kita cari titik potong tersebut.

                 y1 = y2
   x2 + 3x + 4 = 1 − x
   x2 + 4x + 3 = 0
(x + 3)(x + 1) = 0
x1 = −3 dan x2 = −1

Kurva y1 terbuka ke atas (karena koefisien x2-nya positif), berarti posisi kurva y1 berada di bawah garis y1. Sehingga fungsi yang diintegral adalah:

y2y1 = 1 − x − (x2 + 3x + 4)
 = 1 − xx2 − 3x − 4)
= −x2 − 4x − 3

Dengan demikian, luas daerah yang dimaksud adalah:

Integral luas daerah antara kurva dan garis

Selanjutnya kita masukkan batas-batasnya.

= −1/3 (−1 − (−27)) − 2(1 − 9) − 3(−1 − (−3))
= −26/3 + 16 − 6
= −26/3 + 10
= −26/3 + 30/3
= 4/3

Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah 4/3 satuan luas (B).

Soal tentang Luas Daerah UN 2015

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = −x3 + x2 + 6x dan sumbu x adalah ….

A.   20 7/12 satuan luas
B.   21 1/12 satuan luas
C.   21 5/12 satuan luas
D.   21 7/12 satuan luas
E.   22 5/12 satuan luas



Pembahasan

Kita tentukan dulu titik potong antara kurva y1 = −x3 + x2 + 6x dan sumbu x atau y2 = 0.

                    y1 = y2
  −x3 + x2 + 6x = 0
    x3x2 − 6x = 0
   x(x2x − 6) = 0
x(x + 2)(x − 3) = 0
x = 0, x = −2, dan x = 3

Grafik kurva tersebut dapat digambarkan sebagai berikut:

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=−x^3+x^+6x dan sumbu x

Daerah yang diarsir pada gambar di atas terbagi menjadi dua. Artinya, untuk mendapatkan luas daerah tersebut kita harus melakukan integral dua kali.

Luas daerah pertama, sebut saja L1, berada di antara x = −2 dan x = 0. Daerah L1 bernilai negatif karena berada di bawah sumbu x.

Untuk itu, perlu kita kalikan negatif sebelumnya atau batasnya kita tukar agar bernilai positif.

Integral luas daerah kurva x pangkat tiga (sigmoid) dengan sumbu x

Batas x = 0 tidak perlu dimasukkan karena pasti akan menghasilkan nol.

= −1/4 (−2)4 + 1/3 (−2)3 + 3(−2)2
= −4 − 8/3 + 12
= 8 − 8/3
= 24/3 − 8/3
= 16/3
= 5 1/3

Sedangkan daerah yang kedua, sebut saja L2, berada di antara x = 0 dan x = 3.

Artkel Terkait  VIDEO PEMBAHASAN LENGKAP SBMPTN KIMIA TAHUN 2015

Integral luas daerah kurva sigmoid

Dengan hanya memasukkan betas x=3 diperoleh:

= −1/4∙34 + 1/3∙33 + 3∙32
= −81/4 + 9 + 27
= 36 − 81/4
= 144/4 − 81/4
= 63/4
= 15 3/4

Dengan demikian, luas seluruh daerah tersebut adalah:

Luas total daerah yang diarsir

Jadi, luas daerah tersebut adalah 21 1/12 satuan luas (B).

Pembahasan soal Luas Daerah yang lain bisa disimak di:
Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 34
Pembahasan Matematika IPA UN 2014 No. 34
Pembahasan Matematika IPA UN 2015 No. 36
Pembahasan Matematika IPA UN 2016 No. 35

Simak juga, Pembahasan Matematika IPA UN: Volume Benda Putar [Aplikasi Integral]

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Terimakasih

Semoga Bermanfaat