pembahasan selanjutnya adalah
Pembahasan soal Ujian Nasional (UN) tahun 2019 bidang studi Matematika SMA-IPA nomor 16 sampai dengan nomor 20 paket 2 tentang:
- limit fungsi,
- aplikasi turunan [gradien garis singgung],
- aplikasi turunan [nilai maksimum], dan
- integral fungsi aljabar.
Soal No. 16 tentang Limit Fungsi
adalah ….
| A. | −5/2 |
| B. | −1/2 |
| C. | 1/2 |
| D. | 3/2 |
| E. | 5/2 |
Pembahasan
Limit di atas bisa kita bawa ke bentuk seperti ini:
Mari kita selesaikan! Ini kelihatannya rumit. Padahal sebenarnya cuma perkalian suku seperti:
Jadi, nilai dari limit fungsi di atas adalah 5/2 (E).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika UN: Limit Fungsi.
Soal No. 17 tentang Aplikasi Turunan [gradien garis singgung]
| A. | 2𝑥 − 𝑦 = 0 |
| B. | 2𝑥 − 𝑦 − 3 = 0 |
| C. | 2𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 |
| D. | 2𝑥 − 𝑦 − 4 = 0 |
| E. | 2𝑥 − 𝑦 + 4 = 0 |
Pembahasan
Gradien garis 2𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0 adalah:
Sedangkan gradien garis singgung kurva 𝑓(𝑥) = √(8𝑥 − 4) adalah turunan kurva tersebut.
Antara garis singgung kurva dan garis saling tegak lurus sehingga berlaku hubungan:
Kita sudah mendapatkan gradien garis singgung kurva 𝑚2. Sekarang kita lanjutkan untuk mencari titik singgung kurva tersebut.
𝑥 = 1 ini adalah absis titik singgung. Mari kita cari ordinat titik singgungnya dengan melakukan substitusi ke kurva 𝑓𝑥!
Sehingga titik singgung kurva tersebut adalah (1, 2).
Persamaan garis singgung kurva dirumuskan:
Jadi, persamaan garis singgung kurva tersebut adalah opsi (A).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika UN: Aplikasi Turunan.
Soal No. 18 tentang Aplikasi Turunan [gradien garis singgung]
| A. | 5𝑥 − 𝑦 − 14 = 0 |
| B. | 5𝑥 + 𝑦 − 6 = 0 |
| C. | 𝑥 + 5𝑦 − 27 = 0 |
| D. | 𝑥 + 5𝑦 + 18 = 0 |
| E. | 𝑥 − 5𝑦 − 22 = 0 |
Pembahasan
Gradien garis singgung kurva 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 3𝑥 − 6 adalah:
| 𝑚1 | = | 𝑓′(𝑥) |
| = | 4𝑥 − 3 |
Substitusi absis 𝑥 = 2 diperoleh:
Karena garis dan garis singgung kurva saling tegak lurus maka:
| 𝑚1 ∙ 𝑚2 | = | −1 |
| 𝑚2 | = | −1/𝑚1 |
| = | −1/5 |
Dengan demikian, persamaan garis tersebut adalah:
| 𝑦 − 𝑦1 | = | 𝑚2(𝑥 − 𝑥1) |
| 𝑦 + 4 | = | −1/5(𝑥 − 2) |
| 5𝑦 + 20 | = | −𝑥 + 2 [dikalikan 5] |
| 𝑥 + 5𝑦 + 18 | = |
Jadi, persamaan garis tersebut adalah opsi (D).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika UN: Aplikasi Turunan.
Soal No. 19 tentang Aplikasi Turunan (Nilai Maksimum)
Volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah ….
| A. | 2.000 cm3 |
| B. | 3.000 cm3 |
| C. | 4.000 cm3 |
| D. | 5.000 cm3 |
| E. | 6.000 cm3 |
Pembahasan
Perhatikan gambar berikut ini!
Berdasarkan gambar, volume kotak tersebut adalah:
| V | = | s2t |
| = | (30 − 2x)2 ∙ x | |
| = | (900 − 120x + 4x2)x | |
| = | 900x − 120x2 + 4x3 |
Volume kotak tersebut akan maksimum jika turunan pertama dari fungsi V sama dengan nol.
| V’ | = | |
| 900 − 240x + 12x2 | = | |
| x − 20x + 75 | = | 0 [dibagi 12] |
| (x − 5)(x − 15) | = |
x = 5 atau x = 15 (tidak mungkin)
Untuk x = 15 cm tidak mungkin terjadi karena akan menghasilkan sisi kotak sama dengan nol (s = 30 − 2x).
Dengan demikian, volume kotak akan maksimum jika x = 5 cm. Sehingga,
| V | = | (30 − 2x)2 ∙ x |
| = | (30 − 2 ∙ 5)2 ∙ 5 cm3 | |
| = | 400 ∙ 5 cm3 | |
| = | 2000 cm3 |
Jadi, volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah 2.000 cm3 (A).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika UN: Aplikasi Turunan.
Soal No. 20 tentang Integral Fungsi Aljabar
| A. | x3 − 5/2 x2 + 4x + C |
| B. | x3 − 5x2 + 4x + C |
| C. | 3x3 − 5x2 + 4x + C |
| D. | 6x3 − 5x2 + 4x + C |
| E. | 6x3 − 5/2 x2 + 4x + C |
Pembahasan
Ini termasuk soal penggembira, soal integral yang paling dasar. Tapi ingat, harus tetap cermat dan hati-hati. Ok, kita selesaikan sekarang.
Jadi, hasil dari integral di atas adalah opsi (A).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika UN: Integral Fungsi Aljabar.
Simak Pembahasan Soal Matematika IPA UN 2019 Paket 2 selengkapnya.
Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini.
Terimakasih
Semoga Bermanfaat