pembahasan selanjutnya adalah
Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) tahun 2017 bidang studi Matematika SMA-IPA nomor 31 sampai dengan nomor 35 tentang:
- jarak titik ke garis pada dimensi tiga,
- sudut antara garis dan bidang pada dimensi tiga,
- transformasi geometri,
- persamaan lingkaran, serta
- garis singgung lingkaran.
Soal No. 31 tentang Jarak Titik ke Garis pada Dimensi Tiga
A. 2√2 cm
B. 2√3 cm
C. 3√2 cm
D. 3√3 cm
E. 3√6 cm
Pembahasan
Perhatikan gambar limas beraturan T.ABCD berikut ini!
Pada gambar di atas, panjang AT = CT = 6√2 cm. Sedangkan AC merupakan diagonal alas persegi yang bersisi 6 cm sehingga panjang AC = 6√2 cm. Dengan demikian, segitiga ACT adalah segitiga sama sisi.
AP adalah jarak antara titik A ke garis CT. AP sama dengan tinggi segitiga sama sisi ACT.
AP = tinggi ΔACT
= 1/2 a√3 [a: rusuk segitiga]
= 1/2 ∙ 6√2 ∙ √3
= 3√6
Jadi, Jarak titik A ke TC pada limas T.ABCD adalah 3√6 cm (E).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Jarak Titik, Garis, dan Bidang [Dimensi Tiga]
Soal No. 32 tentang Sudut antara Garis dan Bidang pada Dimensi Tiga
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
E. 90°
Pembahasan
Perhatikan gambar limas T.ABCD di bawah ini!
Berdasarkan gambar di atas, sudut α dapat dicari dari perbandingan antara AP dengan AT (kosinus), di mana AP adalah setengah AC.
Jadi, Sudut antara garis TA dan bidang alas ABCD pada limas T.ABCD adalah 45° (C).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Sudut antara Garis dan Bidang [Dimensi Tiga]
Soal No. 33 tentang Transformasi Geometri
A. 3x + 2y + 3 = 0
B. 3x − 2y − 3 = 0
C. 2x + 3y − 3 = 0
D. 2x − 3y + 3 = 0
E. 2x + 2y + 3 = 0
Pembahasan
Misalkan:
![T1 adalah dilatasi [0,3] dan T2 adalah pencerminan terhadap y=x](https://2.bp.blogspot.com/-Qb61CMS6ee0/WeLY9sLwEXI/AAAAAAAAKJY/G91rtrhS52oIvCafsRITame1l_AjfHShwCLcBGAs/s1600/T1-dan-T2.jpg "T1 adalah dilatasi [0,3] dan T2 adalah pencerminan terhadap y=x")
T adalah matriks komposisi T1 dilanjutkan T2.
Persamaan matriks transformasi yang berlaku adalah:
Diperoleh:
x’ = 3y → y = 1/3 x’
y’ = 3x → x = 1/3 y’
Sekarang kita substitusikan ke persamaan garis di atas.
2x + 3y + 1 = 0
2(1/3 y’) + 3(1/3 x’) + 1 = 0
2/3 y’ + x’ + 1 = 0
2y’ + 3x’ + 3 = 0
3x’ + 2y’ + 3 = 0
Jadi, persamaan peta garis tersebut adalah opsi 3x + 2y + 3 = 0 (A).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Transformasi Geometri.
Soal No. 34 tentang Persamaan Lingkaran
A. x2 + y2 + 4x − 6y + 9 = 0
B. x2 + y2 − 4x + 6y + 9 = 0
C. x2 + y2 − 4x + 6y + 4 = 0
D. x2 + y2 − 4x − 6y + 9 = 0
E. x2 + y2 + 4x − 6y + 4 = 0
Pembahasan
Gambar lingkaran yang dimaksud adalah sebagai berikut:
Karena garis x = 5 adalah garis lurus (tidak miring) maka jari-jari lingkaran tersebut merupakan selisih absis antara titik pusat dan garis.
r = 5 − 2
= 3
Persamaan lingkaran dengan titik pusat (h, k) dan jari-jari r dirumuskan:
(x − h)2 + (y − k)2 = r2
(x − 2)2 + (y + 3)2 = 32
x2 − 4x + 4 + y2 + 6y + 9 = 9
x2 + y2 − 4x + 6y + 4 = 0
Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah opsi (C).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Lingkaran.
Soal No. 35 tentang Garis singgung Lingkaran
A. 2x − y + 10 = 0
B. 2x − y + 5 = 0
C. 2x − y + 3 = 0
D. 2x + y + 1 = 0
E. 2x + y − 5 = 0
Pembahasan
Untuk menentukan garis singgung lingkaran, kita perlu data pusat lingkaran, jari-jari, dan gradien. Pusat dan jari-jari lingkaran dapat diperoleh dari persamaan lingkaran dengan membandingkan bentuk umumnya sebagai:
x2 + y2 + 2x − 6y + 5 = 0
x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 [bentuk umum]
Dengan membanding persamaan lingkaran dan bentuk umumnya, diperoleh:
2A = 2
A = 1
2B = −6
B = −3
C = 5
Pusat dan jari-jari lingkaran tersebut adalah:
Pusat : (−A, −B)
(−1, 3) → (h, k)
Jari-jari : r = √(A2 + B2 − C)
= √(12 + (−3)2 − 5)
= √5
Sedangkan gradien dapat diperoleh dari garis. Gradien garis ax + by + c = 0 dirumuskan:
m = −a/b
Sehingga gradien garis 2x − y + 7 = 0 adalah:
m = −2/(−1)
= 2
Karena garis singgung lingkaran sejajar dengan garis, maka gradien garis singgung lingkaran sama dengan gradien garis tersebut.
Nah, sekarang kita tentukan persamaan garis singgung lingkaran tersebut.
y − k = m(x − h) ± r √(m2 + 1)
y − 3 = 2(x + 1) ± √5 ∙ √(22 + 1)
= 2x + 2 ± 5
y = 2x + 5 ± 5
Persamaan garis singgung tersebut dapat dijabarkan menjadi:
y = 2x + 5 + 5
y = 2x + 10
2x − y + 10 = 0
atau
y = 2x + 5 − 5
y = 2x
2x − y = 0
Jadi, sesuai opsi jawaban yang tersedia, persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah (A).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Lingkaran.
Simak Pembahasan Soal Matematika IPA UN 2017 selengkapnya.
Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini.
Terimakasih
Semoga Bermanfaat