pembahasan selanjutnya adalah
Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) tahun 2017 bidang studi Matematika SMA-IPA nomor 26 sampai dengan nomor 30 tentang:
- persamaan trigonometri,
- perbandingan trigonometri (jumlah dan selisih dua sudut),
- perbandingan trigonometri (jumlah dan selisih sinus dan kosinus,
- sudut antara garis dan bidang dalam dimensi tiga, serta
- jarak antara titik, garis, dan bidang dalam dimensi tiga.
Soal No. 26 tentang Persamaan Trigonometri
A. {π/6, 5π/6, π}
B. {π/6, 5π/6, 3π/2}
C. {π/3, 2π/3, 3π/2}
D. {π/3, 4π/3, 3π/2}
E. {7π/6, 3π/2, 11π/6}
Pembahasan
Untuk menyelesaikan soal d atas, trigonometrinya harus dijadikan sejenis. Dalam hal ini, cos 2x harus diubah menjadi bentuk sinus.
cos 2x = 1 − 2 sin2 x
Sehingga soal di atas menjadi:
cos 2x − sin x = 0
1 − 2 sin2 x − sin x = 0
2 sin2 x + sin x − 1 = 0
(2 sin x − 1)(sin x + 1) = 0
sin x = 1/2 atau sin x = −1
Untuk sin x = 1/2 (positif), nilai x berada pada kuadran I dan II.
sin x = 1/2
sin x = sin 30°
Kuadran I x = 30°
= π/6
Kuadran II x = 180° − 30°
= 150°
= 5π/6
Sedangkan untuk sin x = −1 hanya mempunyai satu nilai pada interval 0 ≤ x ≤ 2π.
sin x = −1
x = 270°
= 3π/2
Dengan demikian, penyelesaiannya adalah:
π/6, 5π/6, 3π/2
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tersebut adalah opsi (B).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Persamaan Trigonometri.
Soal No. 27 tentang Perbandingan Trigonometri (jumlah dan selisih dua sudut)
A. −1/2
B. −3/10
C. −1/10
D. 3/10
E. 1/2
Pembahasan
Langkah pertama, kita ubah sudut radian ke dalam derajat, supaya lebih familiar di otak kita.
(α + β) = 5π/6
= 150°
Selanjutnya kita gunakan rumus jumlah dua sudut.
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin 150° = 2/5 + cos α sin β
1/2 = 2/5 + cos α sin β
cos α sin β = 1/2 − 2/5
= 1/10
Sekarang kita masuk ke pertanyaan.
sin(α − β) = sin α cos β − cos β sin α
= 2/5 − 1/10
= 4/10 − 1/10
= 3/10
Jadi, nilai sin(α − β) adalah 3/10 (D).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Perbandingan Trigonometri.
Soal No. 28 tentang Perbandingan Trigonometri (jumlah dan selisih sinus dan kosinus)
A. −√3
B. −√2
C. −1/2 √3
D. √2
E. √3
Pembahasan
Untuk menyelesaikan soal di atas, sebaiknya dihafal rumus selisih sinus dan kosinus berikut ini.
sin A − sin B = 2 cos ½ (A + B) sin ½ (A − B)
cos A − cos B = −2 sin ½ (A + B) sin ½ (A − B)
Dengan demikian penyelesaian soal di atas adalah:
Sudut 210° masuk dalam kuadran III sehingga bisa diganti 180° + 30°. Rumus sinus dan kosinus dalam kuadran III adalah:
sin(180° + α) = −sin α
cos(180° + α) = −cos α
Sehingga penyelesaian di atas dapat dilanjutkan menjadi:
Jadi, nilai dari perbandingan trigonometri tersebut adalah −√3 (A).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Perbandingan Trigonometri.
Soal No. 29 tentang Sudut antara Garis dan Bidang dalam Dimensi Tiga
A. 1/2
B. 1/3 √3
C. 1/2 √2
D. 1/2 √3
E. 2/3 √2
Pembahasan
Perhatikan ilustrasi gambar untuk soal di atas!
Misalkan panjang sisi kubus tersebut adalah a. Panjang PQ sama dengan panjang sisi kubus sedangkan panjang AQ sama dengan setengah diagonal bidang. Sehingga:
Dengan demikian, nilai sinus α adalah:
Jadi, nilai sinus sudut antara bidang AFH dan bidang BDHF adalah 1/3 √3 (D).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Sudut antara Garis dan Bidang.
Soal No. 30 tentang Jarak antara Titik, Garis, dan Bidang dalam Dimensi Tiga
A. 2√2 cm
B. 2√3 cm
C. 3√2 cm
D. 3√3 cm
E. 4√3 cm
Pembahasan
Perhatikan gambar berikut ini!
Jarak titik M ke bidang LNQ adalah garis MS. Ternyata bila garis MS diperpanjang akan tepat melalui titik O, di mana MO adalah diagonal ruang.
MO = a√3
= 6√3 cm
Perbandingan antara MS : SO = 1 : 2, sehingga:
MS = 1/3 MO
= 1/3 × 6√3
= 2√3
Jadi, jarak titik M ke bidang LNQ adalah 2√3 cm (B).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Jarak Titik, Garis, dan Bidang.
Simak Pembahasan Soal Matematika IPA UN 2017 selengkapnya.
Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini.
Terimakasih
Semoga Bermanfaat