Pembahasan Matematika IPA UN 2014 No. 26

• rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus,
• limit fungsi aljabar,
• limit fungsi trigonometri,
• aplikasi turunan, serta
• integral substitusi.

Soal No. 26 tentang Trigonometri (Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Kosinus)

Pembahasan

Soal di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus.

cos A − cos B = −2sin ½(A+B) sin ½(A−B)

Berdasarkan rumus di atas, diperoleh:

   cos 265° − cos 95°
= −2 sin ½(265 + 95) sin ½(265 − 95)
= −2 sin 180° . sin 85°
= 0    (sin 180° = 0)

Jadi, Nilai dari cos 265° − cos 95° sama dengan nol (C).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Perbandingan Trigonometri.

Soal No. 27 tentang Limit Fungsi Aljabar

Pembahasan

Limit fungsi aljabar jenis ini harus diubah dulu ke bentuk:

Hasil dari limit di atas adalah:

Berdasarkan bentuk tersebut, dapat diperoleh a = 25, b = 18, dan c = 2.

Sementara itu, nilai d dan e belum bisa kita peroleh. Kedua nilai tersebut akan kita dapatkan setelah melakukan sedikit manipulasi terhadap bentuk −5x − 1.

Sehingga d = 10 dan e = 1.

Dengan demikian hasilnya adalah:

Jadi, nilai limit fungsi tersebut adalah ⅘ (C).

Soal No. 28 tentang Limit Fungsi Trigonometri

Pembahasan

Langkah pertama adalah mengubah bentuk kosinus menjadi sinus.

cos 2x = 1 − 2 sin²x
2 sin²x = 1 − cos 2x

Sehingga bentuk limit tersebut menjadi:

Limit fungsi trigonometri mendekati nol berlaku: 

x = sin x = tan x

Nah, sekarang ubahlah sin x dan tan x menjadi x

Jadi, nilai dari limit fungsi tersebut adalah 2 (D).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Limit Fungsi.

Soal No. 29 tentang Aplikasi Turunan

Pembahasan

Langkah pertama kita tentukan dulu fungsi f. 

f(x) = g(2x − 1) 
f(x) = ⅓(2x − 1)³ − A²(2x − 1) + 2

f naik pada x ≤ 0 atau x ≥ 1, artinya f’ = 0 saat x = 0 atau x = 1. Bingung kan? Maksudnya begini, kita diminta menurunkan fungsi f kemudian disamadengankan nol. Setelah itu kita diminta melakukan substitusi x = 0 atau x = 1 untuk mendapatkan nilai A². 

                         f’ = 0
2(2x − 1)² − 2A² = 0
                       A² = (2x − 1)² 

x = 0    →  A² = (2.0 − 1)² = 1 
x = 1    →  A² = (2.1 − 1)² = 1

Nilai A² ini kita gunakan untuk mendapatkan fungsi g. Dengan melakukan substitusi A² = 1, kita peroleh fungsi g berikut ini. 

g(x) = ⅓x³ − A²x
        = ⅓x³ − x + 2

Nilai maksimum atau minimum terjadi saat turunan suatu fungsi sama dengan nol. Jadi, g minimum terjadi saat g’ = 0. 

      g’ = 0 
x² − 1 = 0 
      x² = 1 
        x = ±1

Terdapat dua nilai x, yaitu +1 dan −1.  Berarti yang satu menghasilkan g maksimum, satunya lagi menghasilkan g minimum. Mari kita periksa. 

g(−1) = −⅓ + 1 + 2 = 8/3  (maksimum) 
g(1)  = ⅓ − 1 + 2 = 4/3    (minimum)

Jadi, nilai minimum relatif fungsi g adalah 4/3 (D).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Titik Stasioner dan Nilai Ekstrem.

Soal No. 30 tentang Integral Substitusi 

Pembahasan

Pelan-pelan saja mengerjakan soal integral, tidak perlu terburu-buru. Coba pindah dulu penyebutnya ke atas sehingga pangkatnya menjadi negatif.

∫ (3x − 2)(3x² − 4x + 5)⁻⁵dx

Integral di atas mengandung dua fungsi, yaitu fungsi linear (3x − 2) dan fungsi (3x² − 4x + 5)⁻⁵. Pangkat x tertinggi dari kedua fungsi tersebut adalah 3x dan 3x². Selisih pangkat tertingginya 2 − 1 = 1. Inilah ciri integral substitusi, selisih pangkat tertingginya = 1.

Prinsip integral substitusi adalah:

dengan f(x) = 3x² − 4x + 5 (dipilih karena berpangkat lebih tinggi) dan f‘(x) = 6x − 4 (turunan dari f(x)). Dengan demikian, integral di atas menjadi:

(6x − 4) adalah 2 kali dari (3x − 2) sehingga dapat dicoret menjadi

½∫ (3x² − 4x + 5)⁻⁵d(3x² − 4x + 5)

Integral ini bentuknya sama dengan ½∫ a⁻⁵da sehingga diperoleh

½(−¼) (3x² − 4x + 5)⁻⁴ + C

Jadi, hasil dari integral tersebut adalah opsi (A).

Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Integral Fungsi Aljabar. 

Simak Pembahasan Soal Matematika IPA UN 2014 selengkapnya.

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Terimakasih