pembahasan selanjutnya adalah
![Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 26 - 30, trigonometri Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 26 - 30, trigonometri](https://3.bp.blogspot.com/-MaU4USccYfs/W6mq-d6nlmI/AAAAAAAANsc/_MOlhxVJD1kB1bWvVEXQoL71FPBnq3JNwCLcBGAs/s1600/trigonometri-cover.jpg)
Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) tahun 2013 bidang studi Matematika SMA-IPA nomor 26 sampai dengan nomor 30 tentang:
- persamaan trigonometri,
- rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus,
- limit fungsi aljabar,
- limit fungsi trigonometri, serta
- aplikasi turunan.
Soal No. 26 tentang Persamaan Trigonometri
A. {30°, 150°}
B. {30°, 270°}
C. {30°, 150°, 180°}
D. {60°, 120°, 300°}
E. {30°, 150°, 270°}
Pembahasan
Langkah pertama adalah mengubah cos 2x. Rumus cos 2x ada tiga:
- cos 2x = cos2x − sin2x
- cos 2x = 2cos2x − 1
- cos 2x = 1 − 2sin2x
Karena suku kedua dari persamaan trigonometri pada soal di atas adalah sin x maka kita harus mengubah cos 2x menjadi bentuk yang hanya mengandung sin x, yaitu rumus yang ketiga.
Ok, mari kita selesaikan soal di atas!
cos 2x − sin x = 0
1 − 2sin2x − sin x = 0
2sin2x + sin x − 1 = 0
(2 sin x − 1)(sin x + 1) = 0
sin x = 1/2 atau sin x = −1
Untuk sin x = 1/2 berada di kuadran I dan II (positif)
- Kuadran I : sin x = sin 30°
x = 30°
- Kuadran II : sin x = sin(180° − 30°)
x = 150°
Untuk sin x = −1 hanya ada satu nilai
sin x = sin 270°
x = 270°
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan trigonometri di atas adalah {30°, 150°, 270°} (E).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Persamaan Trigonometri
Soal No. 27 tentang Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Kosinus
![Jumlah sinus dan kosinus, Soal No. 27 Matematika IPA UN 2013 Jumlah sinus dan kosinus, Soal No. 27 Matematika IPA UN 2013](https://4.bp.blogspot.com/-3AZBR2k9aPk/W6nDyeO8D2I/AAAAAAAANso/GWMLUIkWP9AwMikyj2Xj8TCfU6ZxBkzcQCLcBGAs/s1600/jumlah-sin-cos.jpg)
A. −√3
B. −1
C. −⅓√3
D. ⅓√3
E. √3
Pembahasan
Untuk menyelesaikan soal di atas, kita harus mengingat kembali dua rumus berikut ini:
cos A + cos B = 2cos ½(A + B) cos ½(A − B)
sin A + sin B = 2sin ½(A + B) cos ½(A − B)〗
Berdasarkan rumus di atas maka:
![Penyelesaian jumlah sinus dan kosinus Penyelesaian jumlah sinus dan kosinus](https://4.bp.blogspot.com/-Hn59StbIOyQ/W6nEyePtJfI/AAAAAAAANsw/aKbInIgFpSEH__Yrk3crudKG_Ui1kg5IwCLcBGAs/s1600/penyelesaian-jumlah-sin.jpg)
Jadi, nilai dari bentuk trigonometri di atas adalah ⅓√3 (D).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Perbandingan Trigonometri
Soal No. 28 tentang Limit Fungsi Aljabar
limx→∞ [(2x − 1) − √(4x2 − 6x − 5)] = ⋯.
A. 4
B. 2
C. 1
D. 1/2
E. 1/4
Pembahasan
Bentuk limit di atas adalah:
![Rumus limit mendekati tak hingga fungsi aljabar bentuk akar Rumus limit mendekati tak hingga fungsi aljabar bentuk akar](https://4.bp.blogspot.com/-ikTZbvfmAIk/W6nG7mWH2FI/AAAAAAAANs8/OgPdGPm4dwUk4bZmBLhQBfFF5H4OaA9lwCLcBGAs/s1600/rumus-limit-tak-hingga.jpg)
Itu artinya, kita harus mengubah bentuk limit pada soal menjadi bentuk seperti di atas. Yang kita ubah adalah 2x − 1.
2x − 1 = √[(2x − 1)2)
= √(4x2 − 4x + 1)
Dengan demikian,
limx→∞ [(2x − 1) − √(4x2 − 6x − 5)]
= limx→∞ [√(4x2 − 4x + 1) − √(4x2 − 6x − 5)]
Diperoleh:
a = 4
b = −4
d = −6
Sehingga hasilnya adalah:
![Rumus limit mendekati tak hingga bentuk akar Rumus limit mendekati tak hingga bentuk akar](https://3.bp.blogspot.com/-gFXvhbWMllA/W6nL5qALA2I/AAAAAAAANtI/GuxoYFskiFAwkhoC6-VYuZB98-20th0JgCLcBGAs/s1600/rumus-limit-tak-hingga2.jpg)
Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar di atas adalah 1/2 (D).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Limit Fungsi
Soal No. 29 tentang Limit Fungsi Trigonometri
![Limit trigonometri UN 2013 Limit trigonometri UN 2013](https://4.bp.blogspot.com/-04AHHbBvcuc/W6nNM_zLiJI/AAAAAAAANtU/-MfIxzg-YtcfHcGbzM4zDId-N3nP_7xFwCLcBGAs/s1600/limit-trigonometri-2013.jpg)
A. −4
B. −3
C. 0
D. 4
E. ∞
Pembahasan
Limit trigonometri x → 0 berlaku:
sin x = tan x = x
Limit pada soal di atas adalah limit trigonometri x → −2 atau sama dengan x + 2 → 0 sehingga berlalu:
sin(x + 2) = tan(x + 2) = x + 2 = p
Kak Ajaz misalkan saja sama dengan p supaya lebih mudah memahami saat mengerjakan nanti. Ok, kita selesaikan sekarang.
![Penyelesaian soal limit fungsi trigonometri UN 2013 Penyelesaian soal limit fungsi trigonometri UN 2013](https://3.bp.blogspot.com/-WC2xNG84kOA/W6nN4-qFj4I/AAAAAAAANtc/NrRV7ItA3YYU-rnZYzqHgLHDW6jRRR4XACLcBGAs/s1600/solusi-limit-trigonometri.jpg)
Jadi, nilai dari limit fungsi trigonometri di atas adalah −4 (A).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Limit Fungsi
Soal No. 30 tentang Aplikasi Turunan
A. 4 m
B. 8 m
C. 10 m
D. 12 m
E. 13 m
Pembahasan
Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan keliling (2x + 24) m.
K = 2x + 24
2(p + l) = 2x + 24
p + l = x + 12
Lebar taman adalah (8 − x) m. Kita substitusikan lebar taman ini pada persamaan di atas. Diperoleh:
p + 8 − x = x +12
p = 2x + 4
Luas taman tersebut adalah:
L = p × l
= (2x + 4)(8 − x)
= 16x − 2x2 + 32 − 4x
= −2x2 + 12x + 32
Agar luas taman maksimum maka turunan fungsi luas harus sama dengan nol.
L’ = 0
−4x + 12 = 0
4x = 12
x = 3
Dengan demikian, panjang taman adalah:
p = 2x + 4
= 2 ∙ 3 + 4
= 10
Jadi, panjang taman tersebut adalah 10 m (C).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Titik Stasioner dan Nilai Ekstrem [Aplikasi Turunan]
Simak Pembahasan Soal Matematika IPA UN 2013 selengkapnya.
Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini.
Terimakasih
Semoga Bermanfaat