pembahasan selanjutnya adalah
![Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 16 - 20, Grafik Eksponen Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 16 - 20, Grafik Eksponen](https://4.bp.blogspot.com/-1RezFPDdYDA/W6eptn82ZYI/AAAAAAAANpE/0H0MmAjKr9g3vQZc6POfTr_PRvnBaUiPQCLcBGAs/s1600/grafik-eksponen.jpg)
Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) tahun 2013 bidang studi Matematika SMA-IPA nomor 16 sampai dengan nomor 20 tentang:
- sudut antara dua vektor,
- proyeksi vektor,
- transformasi geometri,
- pertidaksamaan logaritma, dan
- persamaan eksponen.
Soal No. 16 tentang Sudut antara Dua Vektor
![Vektor u dan vektor v, soal no. 16 Matematika IPA UN 2013 Vektor u dan vektor v, soal no. 16 Matematika IPA UN 2013](https://3.bp.blogspot.com/-Bcwltcsw_0A/W6er5GXQw6I/AAAAAAAANpQ/3wUXLNbbrgQX15YaaetjfYz81XRQtBF5QCLcBGAs/s1600/vektor-u-dan-v.jpg)
Nilai sinus sudut vektor u dan vektor v adalah ….
A. −½
B. 0
C. ½
D. ½√2
E. ½√3
Pembahasan
Kita tentukan dulu perkalian antara vektor u dan v serta panjang masing-masing vektor.
u ∙ v = 1 ∙ 1 + 0 ∙ (-1) + 1 ∙ 0
= 1 + 0 + 0
= 1
|u| = √(12 + 02 + 12)
= √2
|u| = √(12 + (−1)2 + 02)
= √2
Sudut antara vektor u dan vektor v dirumuskan sebagai:
![Sudut antara vektor u dan vektor v Sudut antara vektor u dan vektor v, rumus](https://1.bp.blogspot.com/-LOnjRfr_13s/W6etyjy1LpI/AAAAAAAANpc/okGuqU0VmvIff2Zb5l8eZ8-SWxi5tk35ACLcBGAs/s1600/sudut-dua-vektor.jpg)
Dengan demikian,
sin θ = sin 60°
= ½√3
Jadi, nilai sinus sudut vektor u dan vektor v adalah ½√3 (E).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Sudut antara Dua Vektor
Soal No. 17 tentang Proyeksi Vektor
A. −1/3 i − 1/3 j + 2/3 k
B. −1/3 i + 1/3 j + 2/3 k
C. −2/3 i + 2/3 j − 4/3 k
D. −2/3 i − 2/3 j + 4/3 k
E. −2/3 i + 2/3 j + 4/3 k
Pembahasan
Perkalian vektor a dan b serta panjang vektor b adalah:
a ∙ b = −1 ∙ 1 + (−1) ∙ (−1) + 2 ∙ (−2)
= −1 + 1 − 4
= −4
|b| = √(12 + (−1)2 + (−2)2)
= √6
Misal vektor c adalah proyeksi vektor orthogonal a terhadap b, maka:
![Proyeksi vektor a terhadap vektor b Proyeksi vektor a terhadap vektor b](https://3.bp.blogspot.com/-Utkcwzolrv8/W6ew_Qe-iII/AAAAAAAANpo/LZ4nQkGzjbk7yuLKTYVhGooXk2tuPtmgQCLcBGAs/s1600/proyeksi-a-thd-b.jpg)
Jadi, proyeksi vektor orthogonal a pada b adalah −2/3 i + 2/3 j + 4/3 k (E).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Proyeksi Vektor
Soal No. 18 tentang Transformasi Geometri
![Translasi 3 arah x dan 4 arah y Translasi 3 arah x dan 4 arah y](https://1.bp.blogspot.com/-htf2Iyqpl74/W6eyDdStYTI/AAAAAAAANpw/xZjW4AixVrQV4YiahdRUJKOgPQBYF6eQACLcBGAs/s1600/translasi-T.jpg)
A. P”(2, 1)
B. P”(0, 3)
C. P”(2, 7)
D. P”(4, 7)
E. P”(4, 1)
Pembahasan
Matriks transformasi untuk rotasi 90° adalah:
![Matriks transformasi untuk rotasi 90° Matriks transformasi untuk rotasi 90°](https://4.bp.blogspot.com/-cPGy_2O4Izw/W6e1LeWu4lI/AAAAAAAANp8/A90BYR5k2gQgDTKMRmwdglaTNphZ3pPzACLcBGAs/s1600/rotasi-90.jpg)
Bayangan titik P(−3,1) oleh transformasi R adalah:
![Bayangan titik P(−3,1) oleh rotasi 90° Bayangan titik P(−3,1) oleh rotasi 90°](https://2.bp.blogspot.com/-y2HeUUNqTMg/W6e1oDW_1jI/AAAAAAAANqE/wrJqBXfgOT0REr5C1_9_vHlkmYtvg_0iQCLcBGAs/s1600/peta-P.jpg)
Dengan demikian, bayangannya adalah P’(−1, −3). Selanjutnya titik P’ ini mengalami translasi T.
![Bayangan P' oleh translasi T Bayangan P' oleh translasi T](https://3.bp.blogspot.com/-0NOGA1ylYUw/W6e2L4AzS9I/AAAAAAAANqM/iXk7OMMIl3sL95DNdBbyAfnBlO3X6RRUQCLcBGAs/s1600/peta-rotasi-tranlasi.jpg)
Jadi, peta titik P adalah P”(2, 1) (A).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Transformasi Geometri
Soal No. 19 tentang Pertidaksamaan Logaritma
2log(x + 2) + 2log(x − 2) ≤ 2log5 adalah ….
A. {x│x ≥ −2}
B. {x│x ≥ 2}
C. {x│x ≥ 3}
D. {x│2 < x ≤ 3}
E. {x│−2 < x < 2}
Pembahasan
Rumus yang harus diingat adalah:
- log a + log b = log ab
- (a + b)(a − b) = a2 − b2
- Jika alog f(x) ≤ alog g(x) maka f(x) ≤ g(x), untuk a > 1
Ok, mari kita selesaikan!
2log(x + 2) + 2log(x − 2) ≤ 2log5
2log(x + 2)(x − 2) ≤ 2log5
2log(x2 − 4) ≤ 2log5
Karena bilangan pokok lebih dari 1 (a = 2) maka tanda pertidaksamaan tidak berubah.
x2 − 4 ≤ 5
x2 − 9 ≤ 0
(x + 3)(x − 3) ≤ 0
Pembuat nol x = −3, x = 3, dan tanda pertidaksamaannya “≤” sehingga intervalnya berada di antara pembuat nol.
−3 ≤ x ≤ 3
Jangan lupa syarat logaritma! Fungsi yang di-log harus positif.
x + 2 > 0
x > −2
x − 2 > 0
x > 2
Selanjutnya kita buat garis bilangan untuk ketiga pertidaksamaan di atas.
![Garis bilangan pertidaksamaan logaritma Garis bilangan pertidaksamaan logaritma](https://2.bp.blogspot.com/-MbG1AcFV3L8/W6e542touHI/AAAAAAAANqY/11sHshldKmQOkTlYPPu0oCPOrys3xvjxwCLcBGAs/s1600/garis-bil-log3.jpg)
Himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang diarsir.
2 < x ≤ 3
Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan logaritma di atas adalah {x│2 < x ≤ 3} (D).
Perdalam materi ini di Pembahasan Matematika IPA UN: Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma
Soal No. 20 tentang Persamaan Eksponen
![Grafik fungsi eksponen, soal matematika IPA no. 20 UN 2013 Grafik fungsi eksponen, soal matematika IPA no. 20 UN 2013](https://4.bp.blogspot.com/-UaZd-2Wmb28/W6e7OblgYkI/AAAAAAAANqk/T8EaQJ5VHaYmAXysEZARo0J06Mxc9dPMwCLcBGAs/s1600/grafik-eksponen-20.jpg)
A. y = 2½x − 1
B. y = 2−½x − 1)
C. y = 2x − 2
D. y = 2x + 2
E. y = 22x − 1
Pembahasan
Cara yang efektif untuk menyelesaikan soal di atas adalah dengan cara substitusi langsung ke opsi jawaban.
Pada grafik di atas, kurva melalui titik (2, 1) dan (4, 2). Artinya, jika kita substitusi x = 2 maka harus menghasilkan y = 1. Demikian juga jika kita substitusi x = 4 maka akan menghasilkan y = 2.
Mari kita mulai dari opsi A!
y = 2½x − 1
x = 2 → y = 2½∙2 − 1
= 2
= 1 [benar]
x = 4 → y = 2½∙4 − 1
= 21
= 2 [benar]
Ternyata jawabannya adalah A. Tumben ya, biasanya soal seperti ini jawabannya ditaruh di D atau E.
Jadi, persamaan grafik fungsi eksponen di atas adalah y = 2½x − 1 (A).
Simak Pembahasan Soal Matematika IPA UN 2013 selengkapnya.
Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini.
Terimakasih
Semoga Bermanfaat