Pembahasan Matematika Dasar No. 56

• matriks, 
• persamaan dan fungsi kuadrat, 
• grafik fungsi kuadrat, 
• ukuran pemusatan, serta 
• peluang kejadian.

Soal No. 56 tentang Matriks

Jika

merupakan matriks yang mempunyai invers maka jumlah semua nilai a yang mungkin sehingga det (−½ A) = det (A⁻¹) adalah ….

A.   2
B.   4
C.   6
D.   8
E.   10

Pembahasan

Rumus determinan matriks yang perlu dikuasai untuk menjawab soal di atas adalah:

det (kA) = k² det A
det A⁻¹ = 1/(det A)

Determinan untuk matriks A di atas adalah:

det A = 2a − 6

Mari kita kerjakan soal di atas!

 det (−½ A) = det (A⁻¹)
(−½)² det A = 1/(det A)
      ¼ det A = 1/(det A)
      (det A)² = 4

Sekarang kita masukkan det A = 2a − 6.

          (2a − 6)² = 4
4a² − 24a + 36 = 4
4a² − 24a + 32 = 0
      a² − 6a + 8 = 0

Karena berbentuk persamaan kuadrat, maka nilai a ada dua, yaitu a₁ dan a₂. Untuk mendapatkan jumlah nilai a, kita bisa menggunakan rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat. 

a₁ + a₂ = −b/a             [a = 1, b = −6]
             = − (−6)/1
             = 6

Jadi, jumlah semua nilai a yang mungkin adalah 6 (C).

Soal No. 57 tentang Persamaan dan Fungsi Kuadrat

Pembahasan

Absis titik minimum fungsi kuadrat adalah sumbu simetri.

   x = −b/2a    [rumus sumbu simetri]
5/2 = −b/2      [a = 1]
   b = −5

Untuk mendapatkan nilai c, kita substitusikan titik minimum (5/2, −1/4) dan b = −5 pada fungsi kuadrat tersebut.

      y = x² + bx + c
−1/4 = (5/2)² + (−5)(5/2) + c
−1/4 = 25/4 −25/2 + c
   −1 = 25 − 50 + 4c    [kedua ruas dikalikan 4]
   24 = 4c
     c = 6

Dengan ditemukannya nilai b dan c, persamaan kuadrat tersebut menjadi: 

y = x² − 5x + 6

Grafik fungsi kuadrat tersebut melalui titik (p, 0) dan (q, 0). Kedua titik ini merupakan titik potong pada sumbu x atau pembuat nol fungsi sehingga p dan q merupakan akar-akar persamaan kuadrat tersebut.

Mari kita gunakan sifat penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan kuadrat. 

p + q = −b/a    [a = 1, b = −5]
          = 5 

p . q = c/a         [a = 1, c = 6]
        = 6

Dengan demikian, nilai dari p²q + pq² adalah: 

p²q + pq² = pq(p + q)
                = 6 × 5
                = 30

Jadi, nilai dari adalah 30 (E).

Soal No. 58 tentang Grafik Fungsi Kuadrat

Pembahasan

Grafik fungsi y = 4 − x² memotong sumbu-x di titik A dan B.

       y = 0
4 − x² = 0
      x² = 4
        x = ±2
∴ A(−2, 0) dan B(2, 0)

Grafik fungsi y = 4 − x² memotong sumbu-y di titik C. 

x = 0 → y = 4 − x²
               y = 4 − 0²
               y = 4
∴ C(0, 4)

Perhatikan ilustrasi grafik yang dimaksud pada soal berikut ini!

Berdasarkan grafik di atas, luas segitiga ABC adalah:

L ΔABC = ½ × AB × OC
               = ½ × 4 × 4
               = 8

Jadi, luas segitiga ABC adalah 8 satuan luas (D).

Soal No. 59 tentang Ukuran Pemusatan

Pembahasan

Data-data yang diketahui pada soal: 

n_A = 20 
n_B = 40 
x_A = 2x_B → x_B = ½ x_A

Total keuntungan agen A dan B sebesar 360 juta rupiah.

    n_A . x_A + n_B . x_B = 360
20 . x_A + 40 . ½ x_A = 360
          20x_A + 20x_A = 360
                       40x_A = 360
                           x_A = 9

Jadi, rata-rata keuntungan agen yang menjual produk A adalah 9 juta rupiah (E).

Soal No. 60 tentang Peluang Kejadian

Pembahasan

Terdapat 6 buku, yaitu 4 buku Kombinatorika dan 2 buku Statistika disusun dengan tidak membedakan judul yang sama. Banyak semua kemungkinan (ruang sampel) dapat ditentukan dengan menggunakan permutasi dengan unsur yang sama. 

n(S) = ₆P_{(4, 2)}       

      
       = 15

C adalah kejadian susunan buku sehingga terdapat tiga atau lebih buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan. Susunan yang mungkin adalah:

• KKKKSS   [huruf bercetak merah diacak]

3!/2! = 3     [permutasi 3 dengan 2 unsur yang sama]

3!/2! = 3   

• Tiga atau lebih buku Kombinatorika ada di tengah

1. SKKKKS
2. SKKKSK
3. KSKKKS

Sehingga banyak kejadian C adalah: 

n(C) = 3 + 3 + 3
        = 9

Peluang kejadian C adalah: 

P(C) = n(C)/n(S)
         = 9/15
         = 3/5

Jadi, peluang kejadian C adalah 3/5 (C).

Pembahasan Matematika Dasar No. 51 – 55 TKPA SBMPTN 2015

Simak juga:
Pembahasan Matematika Dasar No. 1 – 5 TKPA SBMPTN 2014
Pembahasan Matematika Dasar No. 46 – 50 TKPA SBMPTN 2016
Pembahasan Matematika Dasar No. 46 – 50 TKPA SBMPTN 2017

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Terimakasih