Pembahasan Matematika IPA UN: Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma

Fungsi Eksponen

Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) SMA-IPA bidang studi Matematika dengan materi pembahasan Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma.

Soal Pertidaksamaan Eksponen UN 2014

Pembahasan

Misalkan p = 2^x sehingga 2^2x = p².

   2^2x − 7 ∙ 2^x > 8
   p² − 7p − 8 > 0
(p + 1)(p − 8) > 0

Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka penyelesaiannya berada di sebelah kiri −1 atau di sebelah kanan 8.

 p < −1    atau    p > 8
2^x < −1    atau   2^x > 8

Penyelesaian 2^x < −1 tidak memenuhi karena hasil perpangkatan tidak mungkin negatif. Sehingga kita tinggal menyelesaikan 2^x > 8.

2^x > 8
2^x > 2³
  x > 3

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan eksponen tersebut adalah opsi (C).

Soal Pertidaksamaan Eksponen UN 2012

Pembahasan

Langkah pertama, kita pecah bilangan berpangkat 3^2x+1 menjadi 3^2x ∙ 3¹.

   3^2x+1 + 9 − 28 ∙ 3^x > 0
3^2x ∙ 3¹ + 9 − 28 ∙ 3^x > 0

Misalkan p = 3^x kemudian kita urutkan sehingga menjadi:

 3p² − 28p + 9 > 0
(3p − 1)(p − 9) > 0

Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka penyelesaiannya berada di sebelah kiri 1/3 atau di sebelah kanan 9.

 p < 1/3    atau    p > 9
3^x < 3⁻¹   atau   3^x > 3²
  x < −1    atau     x > 2

Jadi, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan eksponen di atas adalah opsi (D).

Soal Pertidaksamaan Eksponen UN 2017

Pembahasan

Langkah pertama kita pindah ruas sehingga ruas kanan menjadi nol

9^x − 3^x+1 − 54 > 0

Selanjutnya pangkat dari 3 kita pecah dengan rumus a^m+n = a^m ∙ aⁿ.

9^x − 3^x . 3¹ − 54 > 0

Misalkan p = 3^x sehingga 9^x = p².

 p² − 3p − 54 > 0
(p + 6)(p − 9) > 0

Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka penyelesaiannya berada di sebelah kiri −6 atau di sebelah kanan 9.

 p < −6   atau    p > 9
3^x < −6   atau   3^x > 9

Penyelesaian 3^x < −6 tidak memenuhi karena hasil perpangkatan tidak mungkin negatif. Sekarang kita lanjutkan untuk 3^x > 9.

3^x > 9
3^x > 3²
  x > 2

Jadi, himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan eksponen di atas adalah opsi (E).

Soal Pertidaksamaan Logaritma UN 2013

Pembahasan

Langkah pertama dalam menyelesaikan soal pertidaksamaan logaritma adalah menentukan syaratnya. Bilangan atau fungsi yang di-log harus bernilai positif.

x + 2 > 0
      x > −2 … (1)

x − 2 > 0
      x > 2   … (2)

Berdasarkan syarat di atas, opsi A, B, dan E sudah pasti salah.

Mari kita selesaikan soal di atas. Pertama, kugunakan rumus penjumlahan logaritma log⁡ a + log b = log ⁡ab.

²log(x + 2) + ²log(x − 2) ≤ ²log 5
              ²log(x + 2)(x − 2) ≤ ²log 5

Karena bilangan pokok logaritma ruas kiri dan kanan sama, kita dapatkan pertidaksamaan:

(x + 2)(x − 2) ≤ 5
            x² − 4 ≤ 5
            x² − 9 ≤ 0
(x + 3)(x − 3) ≤ 0

Karena tanda pertidaksamaannya ‘≤’ maka penyelesaiannya berada di antara −3 dan 3.

−3 ≤ x ≤ 3 … (3)

Dari ketiga pertidaksamaan yang kita peroleh, kita buat garis bilangan.

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan logaritma tersebut adalah {x│2x ≤ 3} (D).

Soal Pertidaksamaan Logaritma UN 2014

Pembahasan

Sebelum menyelesaikan soal pertidaksamaan logaritma, sebaiknya menentukan syaratnya terlebih dahulu.

Bilangan atau fungsi yang di-log harus positif.

x > 0          … (1)

Bilangan pokok logaritma harus positif tetapi tidak sama dengan 1.

1 − 2x > 0
    −2x > −1
      2x < 1
        x < 1/2 … (2)

1 − 2x ≠ 1
    −2x ≠ 0
        x ≠ 0    … (3)

Sekarang kita selesaikan soalnya. Yang mengandung logaritma kita pindah ke ruas kiri.

³log⁡ x ∙ ^1−2xlog ⁡9 > 2 − ^1−2xlog⁡ 9
³log⁡ x ∙ ^1−2xlog ⁡9 + ^1−2xlog⁡ 9 > 2

Karena kedua suku di ruas kiri mengandung ^1−2xlog ⁡9, kita jadikan satu suku.

^1−2xlog ⁡9 (³log⁡ x + 1) > 2

Selanjutnya kita ubah 9 menjadi 3² kemudian kita gunakan rumus log aⁿ = n log ⁡a. Pada saat yang sama kita ubah angka 1 menjadi ³log 3 kemudian kita gunakan rumus penjumlahan logaritma.

^1−2xlog 3² (³log⁡ x + ³log 3) > 2
         2 ∙ ^1−2xlog 3 (³log⁡ 3x) > 2
                  ^1−2xlog 3 . ³log⁡ 3x > 1

Kita manfaatkan rumus ^alog⁡ b ∙ ^blog⁡ c = ^alog⁡ c sehingga menjadi:

^1−2xlog 3x > 1

Angka 1 kita ubah menjadi ^1−2xlog (1 − 2x).

^1−2xlog 3x > ^1−2xlog (1 − 2x)

Nah, karena bilangan pokok ruas kiri dan kanan sudah sama, maka diperoleh pertidaksamaan:

3x > 1 − 2x
5x > 1
  x > 1/5      … (4)

Dari keempat pertidaksamaan yang kita peroleh, kita buat garis bilangan.

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan logaritma tersebut adalah 1/5 x

Pembahasan soal yang lain tentang Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma bisa disimak di:
Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 19
Pembahasan Matematika IPA UN 2014 No. 18 dan 19
Pembahasan Matematika IPA UN 2015 No. 20
Pembahasan Matematika IPA UN 2016 No. 4
Pembahasan Matematika IPA UN 2017 No. 3

Simak juga:
Pembahasan Matematika IPA UN: Perpangkatan (Eksponen)
Pembahasan Matematika IPA UN: Logaritma 

Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf  di sini.

Terimakasih