pembahasan selanjutnya adalah
![]() |
Aplikasi Integral: Volume Benda Putar |
Pembahasan soal-soal Ujian Nasional (UN) bidang studi Matematika SMA-IPA dengan materi pembahasan Volume Benda Putar (aplikasi integral) yang meliputi volume benda putar terhadap sumbu x dan sumbu y.
Soal tentang Volume Benda Putar UN 2012
A. 2π satuan volume
B. 3 1/15 π satuan volume
C. 4 4/15 π satuan volume
D. 12 4/15 π satuan volume
E. 14 2/15 π satuan volume
Pembahasan
Batas integrasi daerah putar tersebut adalah titik potong antara kurva y1 = x2 dan garis y2 = 2x. Titik potong dapat dicari dengan menyamakan kedua fungsi tersebut.
y1 = y2
x2 = 2x
x2 − 2x = 0
x(x − 2) = 0
x1 = 0 dan x2 = 2
Perhatikan gambar berikut ini!
![Volume benda putar daerah yang dibatasi kurva y = x^2 dan y = 2x Volume benda putar daerah yang dibatasi kurva y = x^2 dan y = 2x, UN 2012](https://2.bp.blogspot.com/-hCy9xa9FWtw/WKcc-mw9ThI/AAAAAAAAH5Q/fNtKaUzKqcQp3Ju2fXc57QXzW-VTqn1lgCLcB/s1600/volume-putar.jpg)
Pada daerah yang diarsir, y2 > y1 sehingga fungsi yang diintegral adalah:
y22 − y12
Dengan demikian, volume benda putar tersebut adalah:
![Tahap pengintegralan volume benda putar UN 2012 Tahap pengintegralan volume benda putar UN 2012](https://2.bp.blogspot.com/-tc4fjyZmifc/WKcedao7ugI/AAAAAAAAH5c/AAxV1PQZKaAAIJwdNzCmgqVAfFArGkbdQCLcB/s1600/integral-volume.jpg)
Kita hanya perlu memasukkan batas x=2 saja. batas x=0 tidak perlu dimasukkan karena akan menghasilkan nol.
![Tahap memasukkan batas integrasi untuk menentukan volume benda putar Tahap memasukkan batas integrasi untuk menentukan volume benda putar UN 2012](https://2.bp.blogspot.com/-E2PTPcHBgQU/WKcfczUBPhI/AAAAAAAAH5o/0Nx1ThuU83MkrfN0qTxxIX4ffV44v5p4QCLcB/s1600/entry-batas.jpg)
Jadi, volume benda putar tersebut adalah 4 4/15 π satuan volume (C).
Soal tentang Volume Benda Putar UN 2013
A. 36 3/5 π satuan volume
B. 36 1/5 π satuan volume
C. 32 3/5 π satuan volume
D. 23 2/5 π satuan volume
E. 23 1/5 π satuan volume
Pembahasan
Kita tentukan dulu batas-batasnya.
y1 = y2
x2 + 1 = x + 3
x2 − x − 2 = 0
(x + 1)(x − 2 ) = 0
x1 = −1 dan x2 = 2
Parabola y1 = x2 + 1 terbuka ke atas (karena koefisien x2-nya positif). Oleh karena itu dapat dipastikan parabola tersebut terletak di bawah garis y2 = x + 3.
Sehingga fungsi yang diintegral adalah:
y22 − y12 = (x + 3)2 − (x2 + 1)2
= x2 + 6x + 9 − (x4 + 2x2 + 1)
= −x4 − x2 + 6x + 8
Dengan demikian, volume benda putar tersebut adalah:
![Tahap pengintegralan volume benda putar UN 2013 Tahap pengintegralan volume benda putar UN 2013](https://4.bp.blogspot.com/-brcdOSZ8wE8/WKcigMRHMkI/AAAAAAAAH58/_QUAtVhNGIgH-N-Jlv9H12oGiyau_4GlACLcB/s1600/integral-volume1.jpg)
Batas-batasnya kita masukkan per suku seperti berikut ini:
![Tahap memasukkan batas integrasi untuk menentukan volume benda putar Tahap memasukkan batas integrasi untuk menentukan volume benda putar UN 2013](https://2.bp.blogspot.com/-8eeJR5_L5Ow/WKcjTOj-G2I/AAAAAAAAH6E/Tztxw2RWG7wWoQYCQB-jiQgK7bSqjIE1gCLcB/s320/entry-batas1.jpg)
Jadi, volume benda putar tersebut adalah 23 2/5 π satuan volume (D).
Soal tentang Volume Benda Putar UN 2015
A. 576/15 π satuan volume
B. 256/15 π satuan volume
C. 160/15 π satuan volume
D. 156/15 π satuan volume
E. 150/15 π satuan volume
Pembahasan
Titik potong kurva y = 4 − x2 pada sumbu x adalah:
y = 0
4 − x2 = 0
(2 − x)(2 + x) = 0
x = −2 dan x = 2
Perhatikan gambar berikut ini!
![Volume benda putar kuadran I, dibatasi kurva y = 4 − x^2, sumbu x dan y Volume benda putar kuadran I, dibatasi kurva y = 4 − x^2, sumbu x dan y](https://1.bp.blogspot.com/-_sfVf6pdUc4/WKclPIrg-oI/AAAAAAAAH6Q/_v72RHM93vUrhK6dPha0kPBbeg9h5iWegCLcB/s1600/volume-putar1.jpg)
Daerah yang diarsir berada pada kuadran I, dibatasi oleh kurva, sumbu x, dan sumbu y. Daerah tersebut kemudian diputar 360° terhadap sumbu x. Volume yang terjadi adalah:
![Tahap pengintegralan volume benda putar UN 2015 Tahap pengintegralan volume benda putar UN 2015](https://1.bp.blogspot.com/-G9O0jiTXbMs/WKcmJW-kqWI/AAAAAAAAH6g/4bX6mFU9dYw2Sxvff8yovZYso9xC2nN4gCLcB/s1600/integral-volume2.jpg)
Masukkan batas x = 2 saja.
![Tahap memasukkan batas integrasi untuk menentukan volume benda putar UN 2015 Tahap memasukkan batas integrasi untuk menentukan volume benda putar UN 2015](https://2.bp.blogspot.com/-Ups4GnWBWYI/WKcm5jcHpcI/AAAAAAAAH6k/zZAOQ21mE9MHIQLcGxz1pMbhpHYoP00XACLcB/s1600/entry-batas2.jpg)
Jadi, volume benda putar tersebut adalah 256/15 π satuan volume (B).
Soal tentang Volume Benda Putar UN 2011
A. 20/15 π satuan volume
B. 30/15 π satuan volume
C. 54/15 π satuan volume
D. 64/15 π satuan volume
E. 144/15 π satuan volume
Pembahasan
Titik potong antara kurva y1 = x2 dan garis y2 = 2x adalah:
y1 = y2
x2 = 2x
x2 − 2x = 0
x(x − 2) = 0
x1 = 0 dan x2 = 2
Karena kurva y1 terbuka ke atas maka posisinya berada di bawah garis y2. Sehingga volume benda putar yang terjadi adalah:
![Tahap pengintegralan volume benda putar UN 2011 Tahap pengintegralan volume benda putar UN 2011](https://4.bp.blogspot.com/-5S8b8AXmDe4/WKcpQ0PMUJI/AAAAAAAAH6w/It9EeU4vKJkLnSGmbV3pZ89Cg0NMFNaiwCLcB/s1600/integral-volume3.jpg)
Dengan memasukkan batas x = 2 diperoleh:
![Tahap memasukkan batas integrasi untuk menentukan volume benda putar UN 2011 Tahap memasukkan batas integrasi untuk menentukan volume benda putar UN 2011](https://3.bp.blogspot.com/-v1qTkeTc9i4/WKcqOWPvkmI/AAAAAAAAH7A/mC3zxhRAKLkH2vEVPjw0qETIiRiPqKvowCLcB/s1600/entry-batas3.jpg)
Jadi, volume benda putar yang terjadi adalah 64/15 π satuan volume (D).
Soal tentang Volume Benda Putar UN 2014
A. 8/60 π satuan volume
B. 17/60 π satuan volume
C. 34/60 π satuan volume
D. 44/60 π satuan volume
E. 46/60 π satuan volume
Pembahasan
Soal ini agak berbeda dengan soal sebelumnya. Hal ini karena benda tersebut diputar terhadap sumbu y (soal sebelumnya diputar terhadap sumbu x).
Karena diputar terhadap sumbu y maka batas integrasi adalah batas y, yaitu y1 dan y1.
Ok, kita substitusikan persamaan kurva x = 2√3 y2 pada lingkaran x2 + y2 = 1 untuk mendapatkan batas-batas integrasinya.
x2 + y2 = 1
(2√3 y2 )2 + y2 = 1
12y4 + y2 = 1
12y4 + y2 − 1 = 0
(4y2 − 1)(3y2 + 1) = 0
y2 = 1/4 dan y2 = −1/3 (TM)
y = ±1/2
TM artinya tidak memenuhi karena hasil pengkuadratan tidak mungkin bernilai negatif.
Perhatikan gambar berikut ini!
![Daerah yang dibatasi oleh kurva parabola, lingkaran, dan sumbu y diputar 360° terhadap sumbu y Daerah yang dibatasi oleh kurva parabola, lingkaran, dan sumbu y diputar 360° terhadap sumbu y](https://4.bp.blogspot.com/-pBbYNzPridc/XCzET49LqxI/AAAAAAAAOL8/7_J2CLRD0YUNJGYerWl8-u5kcLR0jBWXwCLcBGAs/s320/volume-benda-putar-2.jpg)
Daerah yang diarsir dibatasi oleh kurva, lingkaran, dan sumbu y. Daerah inilah yang akan diputar 360° terhadap sumbu y.
Daerah I dan II pada arsiran di atas luasnya sama besar. Sehingga kita cukup mengintegralkan daerah I saja kemudian kita kalikan 2.
Sementara itu, daerah I tidak bisa kita integralkan langsung dari y = 0 ke y = 1. Melainkan harus dipecah menjadi dua.
Dalam interval 0 ≤ y ≤ 1/2 yang berperan adalah kurva parabola. Sedangkan dalam interval 1/2 ≤ y ≤ 1 yang berperan adalah lingkaran.
Yang perlu ditekankan lagi adalah bahwa fungsi yang diintegral adalah fungsi x2 sehingga:
Parabola: x = 2√3 y2
x2 = 12y4
Lingkaran : x2 + y2 = 1
x2 = 1 − y2
Dengan demikian, Volume benda putar tersebut adalah:
![Pengintegralan volume benda putar yang diputar terhadap sumbu y Pengintegralan volume benda putar yang diputar terhadap sumbu y, UN 2014](https://2.bp.blogspot.com/-xlDvDbFJEfI/WKct9o6NGQI/AAAAAAAAH7M/6NF-vczpFCMaUId4bRXrUeX9SF0Il1ffwCLcB/s320/integral-volume4.jpg)
Jadi, volume benda putar tersebut adalah 34/60 π satuan volume (C).
Pembahasan soal Volume Benda Putar yang lain bisa disimak di:
Pembahasan Matematika IPA UN 2013 No. 35
Pembahasan Matematika IPA UN 2014 No. 35
Pembahasan Matematika IPA UN 2015 No. 37
Simak juga:
Pembahasan Matematika IPA UN: Luas Daerah [Aplikasi Integral]
Pembahasan Matematika IPA UN: Integral Fungsi Aljabar.
Pembahasan Matematika IPA UN: Integral Fungsi Trigonometri
Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini.
Terimakasih
Semoga Bermanfaat